giải chi tiết

Câu 11: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm biểu thức của vector \(\overrightarrow{AM}\) trong hình lăng trụ ABC.A'B'C'. 1. Xác định vector \(\overrightarrow{BB'}\): Trong hình lăng trụ, các cạnh bên song song và bằng nhau. Do đó, vector \(\overrightarrow{BB'}\) có thể được biểu diễn dưới dạng vector độ cao của lăng trụ, ký hiệu là \(\overrightarrow{c}\). 2. Tìm vector \(\overrightarrow{BM}\): Vì M là trung điểm của BB', nên vector \(\overrightarrow{BM}\) là nửa vector \(\overrightarrow{BB'}\): \[ \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BB'} = \frac{1}{2} \overrightarrow{c} \] 3. Tìm vector \(\overrightarrow{AM}\): Sử dụng quy tắc hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} \] Trong đó, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}\). Thay vào biểu thức của \(\overrightarrow{AM}\): \[ \overrightarrow{AM} = (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) + \frac{1}{2} \overrightarrow{c} \] \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{c} \] 4. Kết luận: Vậy khẳng định đúng là khẳng định C: \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{c}\). Câu 12: Để tính tích vô hướng \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}\), ta cần xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D trong không gian sao cho dễ dàng tính toán. Giả sử tứ diện đều ABCD có cạnh bằng \(a\). Ta có thể đặt các điểm như sau: - Điểm \(A\) tại gốc tọa độ \(A(0, 0, 0)\). - Điểm \(B(a, 0, 0)\). - Điểm \(C\) nằm trên trục \(Oy\) sao cho \(BC = a\). Do đó, \(C\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2}, 0\right)\). - Điểm \(D\) nằm trên trục \(Oz\) sao cho \(AD = a\). Do đó, \(D\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{6}, \frac{\sqrt{6}a}{3}\right)\). Bây giờ, ta tính các vectơ \(\overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{BC}\): - \(\overrightarrow{BA} = (0 - a, 0 - 0, 0 - 0) = (-a, 0, 0)\). - \(\overrightarrow{BC} = \left(\frac{a}{2} - a, \frac{\sqrt{3}a}{2} - 0, 0 - 0\right) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2}, 0\right)\). Tích vô hướng \(\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}\) được tính như sau: \[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-a) \cdot \left(-\frac{a}{2}\right) + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}a}{2} + 0 \cdot 0 = \frac{a^2}{2}. \] Vậy đáp án đúng là \(D.~\frac{a^2}{2}.\) Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng điều kiện đã cho và sử dụng các tính chất của hình học không gian. Điều kiện a: \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) - Điều kiện này cho biết rằng hai vectơ \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{BC}\) có cùng độ dài và cùng hướng. Điều này phù hợp với tính chất của hình bình hành, vì trong hình bình hành, các cạnh đối song song và bằng nhau. Điều kiện b: \(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DS}\) - Chúng ta có thể viết lại điều kiện này như sau: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{DS} \implies \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{SD} \] - Điều này có nghĩa là điểm \(A\), \(D\), và \(S\) thẳng hàng, với \(A\) nằm giữa \(S\) và \(D\). Điều kiện c: \(\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BA}\) - Viết lại điều kiện này: \[ \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BA} \implies \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} \] - Điều này cho thấy rằng điểm \(B\), \(A\), và \(C\) thẳng hàng, với \(B\) nằm giữa \(C\) và \(A\). Điều kiện d: \(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}\) - Điều kiện này có thể được viết lại như sau: \[ \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} \] - Điều này cho thấy rằng tổng các vectơ từ \(S\) đến các đỉnh của hình bình hành là bằng nhau, điều này có thể được hiểu là \(S\) là trọng tâm của một tứ diện đối xứng nào đó. Kết luận: - Từ các điều kiện trên, chúng ta có thể kết luận rằng hình chóp \(S.ABCD\) có các tính chất đặc biệt liên quan đến sự thẳng hàng của các điểm và sự đối xứng của các vectơ. Các điều kiện này đảm bảo rằng hình chóp có một số tính chất đối xứng nhất định, và các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) có sự liên hệ đặc biệt với điểm \(S\). Câu 2: Để giải quyết các bài toán liên quan đến tứ diện và các vectơ, chúng ta cần sử dụng các tính chất của trung điểm và các phép toán vectơ. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần của bài toán: a) Chứng minh \(\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}\): - Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \] \[ \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{ND} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} \] - Gọi \(R\) và \(S\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\). Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{AR} = \overrightarrow{RD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \] \[ \overrightarrow{BS} = \overrightarrow{SC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} \] - Xét \(\overrightarrow{MR}\): \[ \overrightarrow{MR} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AR} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \] - Xét \(\overrightarrow{SN}\): \[ \overrightarrow{SN} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{BN} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} \] - Để chứng minh \(\overrightarrow{MR} = \overrightarrow{SN}\), ta cần chứng minh: \[ -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} \] - Điều này đúng nếu và chỉ nếu: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} \] - Đây là một đẳng thức vectơ đúng do tính chất của trung điểm và các vectơ trong không gian. b) Chứng minh \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}\): - Gọi \(G\) là trọng tâm của tứ diện, do đó: \[ \overrightarrow{G} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) \] - Khi đó: \[ \overrightarrow{GA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{G} = \overrightarrow{A} - \frac{1}{4}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) \] \[ \overrightarrow{GA} = \frac{3}{4}\overrightarrow{A} - \frac{1}{4}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) \] - Tương tự, ta có: \[ \overrightarrow{GB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{B} - \frac{1}{4}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) \] \[ \overrightarrow{GC} = \frac{3}{4}\overrightarrow{C} - \frac{1}{4}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}) \] \[ \overrightarrow{GD} = \frac{3}{4}\overrightarrow{D} - \frac{1}{4}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) \] - Cộng tất cả lại: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \left(\frac{3}{4}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D})\right) - \left(\frac{1}{4}(3\overrightarrow{A} + 3\overrightarrow{B} + 3\overrightarrow{C} + 3\overrightarrow{D})\right) \] - Điều này dẫn đến: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0} \] c) Chứng minh \(2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\): - Gọi \(P\) và \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). Do đó: \[ \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{PC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{QD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BD} \] - Xét \(\overrightarrow{PQ}\): \[ \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AQ} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \left(\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\right) \] - Điều này dẫn đến: \[ 2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} \] d) Chứng minh \(|\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}|\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(I\) trùng với \(G\): - Đặt \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = 4\overrightarrow{IG}\). - Để giá trị này nhỏ nhất, \(\overrightarrow{IG}\) phải bằng \(\overrightarrow{0}\), tức là \(I\) trùng với \(G\). - Khi đó, \(|\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID}| = 0\). Như vậy, các phần của bài toán đã được chứng minh một cách chi tiết và rõ ràng. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Tứ giác ABCD là hình vuông Vì hình chóp S.ABCD là hình chóp tứ giác đều và tất cả các cạnh đều bằng \(a\), nên các cạnh của đáy ABCD đều bằng \(a\). Do đó, tứ giác ABCD là hình vuông với các cạnh bằng \(a\). b) Tam giác SBD vuông cân tại S Vì tam giác SBD vuông cân tại S, nên \(SB = SD\) và góc \(\angle BSD = 90^\circ\). Do đó, \(SB = SD = a\) (vì tất cả các cạnh của hình chóp đều bằng \(a\)). c) \((\overrightarrow{SB},\overrightarrow{BD})=45^\circ\) Để chứng minh điều này, ta cần tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{SB}\) và \(\overrightarrow{BD}\). - Vectơ \(\overrightarrow{SB}\) có độ dài \(a\). - Vectơ \(\overrightarrow{BD}\) là đường chéo của hình vuông ABCD, nên độ dài của nó là \(BD = a\sqrt{2}\). Góc giữa hai vectơ được tính bằng công thức: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{SB}| \cdot |\overrightarrow{BD}|} \] Vì \((\overrightarrow{SB},\overrightarrow{BD})=45^\circ\), nên: \[ \cos(45^\circ) = \frac{\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{BD}}{a \cdot a\sqrt{2}} \] \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{BD}}{a^2\sqrt{2}} \] \[ \overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{BD} = a^2 \] d) \(\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{BD} = -a^2\) Từ phần c), ta đã tính được \(\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{BD} = a^2\), điều này mâu thuẫn với điều kiện \(\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{BD} = -a^2\). Do đó, điều kiện này không thể xảy ra đồng thời với các điều kiện đã cho ở trên. Kết luận - Tứ giác ABCD là hình vuông. - Tam giác SBD vuông cân tại S. - Góc giữa \(\overrightarrow{SB}\) và \(\overrightarrow{BD}\) là \(45^\circ\). - Điều kiện \(\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{BD} = -a^2\) không thể xảy ra đồng thời với các điều kiện trên. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết. Phân tích hình học Cho hình chóp \( S.ABCD \) với đáy \( ABCD \) là hình chữ nhật. Các thông tin đã cho: - \( AB = a \), \( AD = 2a \). - \( SA = 2a \) và \( SA \perp (ABCD) \). a) Hai vectơ \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}\) là hai vectơ cùng hướng. Vì \( ABCD \) là hình chữ nhật, nên \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{CD} \) là hai vectơ đối nhau, tức là \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{CD}\). Do đó, hai vectơ này không cùng hướng. Vậy mệnh đề a) là sai. b) \((\overrightarrow{SC}, \overrightarrow{AC}) = 60^\circ\). - Tọa độ các điểm: - \( A(0, 0, 0) \) - \( B(a, 0, 0) \) - \( D(0, 2a, 0) \) - \( C(a, 2a, 0) \) - \( S(0, 0, 2a) \) - Vectơ \(\overrightarrow{SC} = (a, 2a, -2a)\) và \(\overrightarrow{AC} = (a, 2a, 0)\). - Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{AC} = a \cdot a + 2a \cdot 2a + (-2a) \cdot 0 = a^2 + 4a^2 = 5a^2 \] - Độ dài các vectơ: \[ |\overrightarrow{SC}| = \sqrt{a^2 + (2a)^2 + (-2a)^2} = \sqrt{9a^2} = 3a \] \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} \] - Cosine của góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{SC} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{SC}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{5a^2}{3a \cdot a\sqrt{5}} = \frac{5}{3\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \] - Kiểm tra \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), không bằng \(\frac{\sqrt{5}}{3}\). Vậy mệnh đề b) là sai. c) \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AB} = \frac{a^2}{2}\). - Trung điểm \( M \) của \( SB \): \[ M\left(\frac{a}{2}, 0, a\right) \] - Vectơ \(\overrightarrow{AM} = \left(\frac{a}{2}, 0, a\right)\). - Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AB} = \left(\frac{a}{2}, 0, a\right) \cdot (a, 0, 0) = \frac{a}{2} \cdot a = \frac{a^2}{2} \] Vậy mệnh đề c) là đúng. d) \(|\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN}| = \frac{a\sqrt{3}}{2}\). - Trung điểm \( N \) của \( SD \): \[ N\left(0, a, a\right) \] - Vectơ \(\overrightarrow{AN} = (0, a, a)\). - Vectơ \(\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} = \left(\frac{a}{2}, 0, a\right) - (0, a, a) = \left(\frac{a}{2}, -a, 0\right)\). - Độ dài: \[ |\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN}| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + (-a)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} \] Vậy mệnh đề d) là sai. Kết luận - Mệnh đề a) là sai. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là đúng. - Mệnh đề d) là sai.