Giải hệ phương trình.

Câu 1: Điều kiện xác định: \( y > 2x \), \( x \geq -1 \), \( y \geq 1 \). Từ phương trình thứ hai, ta có: \[ x^3 - x^2 + 2 = 4\sqrt{x+1} + 2\sqrt{y-1}. \] Nhận thấy rằng \( x = 2 \) thỏa mãn phương trình trên. Thay \( x = 2 \) vào phương trình này, ta được: \[ 2^3 - 2^2 + 2 = 4\sqrt{2+1} + 2\sqrt{y-1}, \] \[ 8 - 4 + 2 = 4\sqrt{3} + 2\sqrt{y-1}, \] \[ 6 = 4\sqrt{3} + 2\sqrt{y-1}. \] Do đó, \( 2\sqrt{y-1} = 6 - 4\sqrt{3} \), suy ra \( \sqrt{y-1} = 3 - 2\sqrt{3} \). Vì \( 3 - 2\sqrt{3} < 0 \), nên không tồn tại \( y \) thỏa mãn điều này. Vậy \( x = 2 \) không là nghiệm của hệ phương trình. Thay \( x = 1 \) vào phương trình thứ hai, ta được: \[ 1^3 - 1^2 + 2 = 4\sqrt{1+1} + 2\sqrt{y-1}, \] \[ 1 - 1 + 2 = 4\sqrt{2} + 2\sqrt{y-1}, \] \[ 2 = 4\sqrt{2} + 2\sqrt{y-1}. \] Do đó, \( 2\sqrt{y-1} = 2 - 4\sqrt{2} \), suy ra \( \sqrt{y-1} = 1 - 2\sqrt{2} \). Vì \( 1 - 2\sqrt{2} < 0 \), nên không tồn tại \( y \) thỏa mãn điều này. Vậy \( x = 1 \) không là nghiệm của hệ phương trình. Thay \( x = 0 \) vào phương trình thứ hai, ta được: \[ 0^3 - 0^2 + 2 = 4\sqrt{0+1} + 2\sqrt{y-1}, \] \[ 2 = 4 + 2\sqrt{y-1}. \] Do đó, \( 2\sqrt{y-1} = -2 \), suy ra \( \sqrt{y-1} = -1 \). Vì \( \sqrt{y-1} \geq 0 \), nên không tồn tại \( y \) thỏa mãn điều này. Vậy \( x = 0 \) không là nghiệm của hệ phương trình. Thay \( x = -1 \) vào phương trình thứ hai, ta được: \[ (-1)^3 - (-1)^2 + 2 = 4\sqrt{-1+1} + 2\sqrt{y-1}, \] \[ -1 - 1 + 2 = 0 + 2\sqrt{y-1}, \] \[ 0 = 2\sqrt{y-1}. \] Do đó, \( \sqrt{y-1} = 0 \), suy ra \( y = 1 \). Thay \( x = -1 \) và \( y = 1 \) vào phương trình thứ nhất, ta được: \[ ((-1)^2 + 1)\sqrt{1 - 2(-1)} - 4 = 2(-1)^2 + 2(-1) + 1, \] \[ (1 + 1)\sqrt{1 + 2} - 4 = 2 - 2 + 1, \] \[ 2\sqrt{3} - 4 = 1. \] Do đó, \( 2\sqrt{3} - 4 = 1 \), suy ra \( 2\sqrt{3} = 5 \), suy ra \( \sqrt{3} = \frac{5}{2} \). Điều này không đúng vì \( \sqrt{3} \approx 1.732 \). Vậy hệ phương trình không có nghiệm.