Tìm các cặp số nguyên (x; y).

Để giải bài toán tìm các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn phương trình $x^4 + (y+2)^3 = (x+2)^4$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Phân tích và biến đổi phương trình: \[ x^4 + (y+2)^3 = (x+2)^4 \] Biến đổi vế phải: \[ (x+2)^4 = x^4 + 4x^3 \cdot 2 + 6x^2 \cdot 4 + 4x \cdot 8 + 16 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16 \] Thay vào phương trình ban đầu: \[ x^4 + (y+2)^3 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16 \] Bỏ $x^4$ ở cả hai vế: \[ (y+2)^3 = 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16 \] 2. Biến đổi tiếp: \[ (y+2)^3 = 8(x^3 + 3x^2 + 4x + 2) \] Ta thấy rằng $8(x^3 + 3x^2 + 4x + 2)$ phải là một lập phương của một số nguyên. Do đó, $x^3 + 3x^2 + 4x + 2$ cũng phải là một lập phương của một số nguyên. 3. Kiểm tra các giá trị nguyên của $x$: - Nếu $x = 0$: \[ x^3 + 3x^2 + 4x + 2 = 0 + 0 + 0 + 2 = 2 \] \[ (y+2)^3 = 8 \cdot 2 = 16 \quad \Rightarrow \quad y+2 = 2 \quad \Rightarrow \quad y = 0 \] Vậy $(x, y) = (0, 0)$ là một nghiệm. - Nếu $x = 1$: \[ x^3 + 3x^2 + 4x + 2 = 1 + 3 + 4 + 2 = 10 \] \[ (y+2)^3 = 8 \cdot 10 = 80 \quad \Rightarrow \quad y+2 \neq \text{số nguyên} \] Vậy $x = 1$ không cho nghiệm nguyên. - Nếu $x = -1$: \[ x^3 + 3x^2 + 4x + 2 = -1 + 3 - 4 + 2 = 0 \] \[ (y+2)^3 = 8 \cdot 0 = 0 \quad \Rightarrow \quad y+2 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -2 \] Vậy $(x, y) = (-1, -2)$ là một nghiệm. - Nếu $x = 2$: \[ x^3 + 3x^2 + 4x + 2 = 8 + 12 + 8 + 2 = 30 \] \[ (y+2)^3 = 8 \cdot 30 = 240 \quad \Rightarrow \quad y+2 \neq \text{số nguyên} \] Vậy $x = 2$ không cho nghiệm nguyên. - Nếu $x = -2$: \[ x^3 + 3x^2 + 4x + 2 = -8 + 12 - 8 + 2 = -2 \] \[ (y+2)^3 = 8 \cdot (-2) = -16 \quad \Rightarrow \quad y+2 = -2 \quad \Rightarrow \quad y = -4 \] Vậy $(x, y) = (-2, -4)$ là một nghiệm. 4. Kết luận: Các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn phương trình $x^4 + (y+2)^3 = (x+2)^4$ là: \[ (0, 0), (-1, -2), (-2, -4) \]