Chứng minh bốn điểm M, N, O, K cùng nằm trên 1 đường tròn.

Để chứng minh bốn điểm \( M, O, N, K \) cùng nằm trên một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác \( MONK \) là tứ giác nội tiếp. Dưới đây là các bước lập luận chi tiết: 1. Xét đường tròn \((O)\): Đường tròn \((O)\) có đường kính là \( BC \), do đó \( \angle BFC = \angle BEC = 90^\circ \) vì \( F \) và \( E \) là các điểm nằm trên đường tròn \((O)\). 2. Tính chất của điểm \( H \): \( H \) là giao điểm của \( BE \) và \( CF \). Do \( \angle BFC = 90^\circ \) và \( \angle BEC = 90^\circ \), nên \( H \) là trực tâm của tam giác \( \triangle AEF \). 3. Xét đường thẳng \( AH \): Đường thẳng \( AH \) cắt \( BC \) tại \( D \). Do \( H \) là trực tâm của tam giác \( \triangle AEF \), nên \( AH \) là đường cao của tam giác này. 4. Xét đường thẳng \( EF \): Đường thẳng \( EF \) cắt \( BC \) tại \( K \). 5. Xét đường thẳng qua \( D \) song song với \( EF \): Đường thẳng này cắt \( AB \) tại \( M \) và \( AC \) tại \( N \). Do \( DM \parallel EF \) và \( DN \parallel EF \), nên \( DM \parallel DN \). 6. Chứng minh tứ giác \( MONK \) nội tiếp: - Ta cần chứng minh rằng \( \angle MON + \angle MKO = 180^\circ \). - Do \( DM \parallel EF \) và \( DN \parallel EF \), nên \( \angle DMK = \angle EFK \) và \( \angle DNK = \angle EFK \). - Từ đó, ta có \( \angle DMK = \angle DNK \). - Vì \( \angle DMK = \angle DNK \), nên \( \angle MON = \angle MKO \). - Do đó, \( \angle MON + \angle MKO = 180^\circ \). Vậy, tứ giác \( MONK \) là tứ giác nội tiếp, chứng tỏ bốn điểm \( M, O, N, K \) cùng nằm trên một đường tròn.