Giải bài tiệm cận ngang, tiệm cận đứng dưới đây

Câu 5: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{5}{x-1} \), chúng ta cần xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến \( +\infty \) và \( -\infty \). 1. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x-1} \] Khi \( x \) tiến đến \( +\infty \), mẫu số \( x-1 \) cũng tiến đến \( +\infty \). Do đó, phân số \( \frac{5}{x-1} \) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x-1} = 0 \] 2. Xét giới hạn của hàm số khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{5}{x-1} \] Khi \( x \) tiến đến \( -\infty \), mẫu số \( x-1 \) cũng tiến đến \( -\infty \). Do đó, phân số \( \frac{5}{x-1} \) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{5}{x-1} = 0 \] Vì cả hai giới hạn đều bằng 0, nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{5}{x-1} \) là đường thẳng \( y = 0 \). Đáp án đúng là: \( D.~y=0 \). Câu 6: Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{1 - 4x}{2x - 1} \), ta cần tính giới hạn của hàm số khi \( x \to +\infty \) và \( x \to -\infty \). Ta có: \[ y = \frac{1 - 4x}{2x - 1} \] Chia cả tử số và mẫu số cho \( x \): \[ y = \frac{\frac{1}{x} - 4}{2 - \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to +\infty \) hoặc \( x \to -\infty \), các hạng tử chứa \( \frac{1}{x} \) sẽ tiến về 0: \[ \lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{1}{x} - 4}{2 - \frac{1}{x}} = \frac{0 - 4}{2 - 0} = \frac{-4}{2} = -2 \] Vậy đường thẳng \( y = -2 \) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Đáp án đúng là: \( D.~y = -2 \). Câu 7: Để xác định đồ thị của hàm số nào có tiệm cận đứng, chúng ta cần kiểm tra xem hàm số có điểm gián đoạn nào không và tại những điểm đó, giới hạn của hàm số có tiến đến vô cùng hay không. A. \( y = \frac{x+2}{x-1} \) Hàm số này có mẫu số bằng 0 khi \( x - 1 = 0 \), tức là \( x = 1 \). Ta kiểm tra giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 1: \[ \lim_{x \to 1^-} \frac{x+2}{x-1} = -\infty \] \[ \lim_{x \to 1^+} \frac{x+2}{x-1} = +\infty \] Vì vậy, hàm số \( y = \frac{x+2}{x-1} \) có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). B. \( y = \frac{x^2}{x^2+2} \) Mẫu số \( x^2 + 2 \) luôn khác 0 với mọi \( x \), nên hàm số này không có điểm gián đoạn. Do đó, hàm số này không có tiệm cận đứng. C. \( y = \sqrt{x^2+1} \) Hàm số này xác định với mọi \( x \) và không có điểm gián đoạn. Do đó, hàm số này không có tiệm cận đứng. D. \( y = \frac{x^2-5x+6}{x-2} \) Hàm số này có mẫu số bằng 0 khi \( x - 2 = 0 \), tức là \( x = 2 \). Tuy nhiên, tử số \( x^2 - 5x + 6 \) có thể được phân tích thành \( (x-2)(x-3) \): \[ y = \frac{(x-2)(x-3)}{x-2} \] Khi \( x \neq 2 \), hàm số có thể rút gọn thành: \[ y = x - 3 \] Do đó, hàm số này không có tiệm cận đứng vì tại \( x = 2 \), hàm số có thể rút gọn và không có sự gián đoạn thực sự. Kết luận: Hàm số có tiệm cận đứng là \( A.~y=\frac{x+2}{x-1} \). Câu 8: Để tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = \frac{x-2}{x^2-9} \), chúng ta cần kiểm tra các loại tiệm cận: tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên. 1. Tiệm cận đứng: - Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là \( x^2 - 9 = 0 \). - Giải phương trình \( x^2 - 9 = 0 \): \[ x^2 - 9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = 3 \text{ hoặc } x = -3 \] - Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng tại \( x = 3 \) và \( x = -3 \). 2. Tiệm cận ngang: - Tiệm cận ngang xảy ra khi \( x \to \pm\infty \). Ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm\infty \): \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-2}{x^2-9} \] - Chia cả tử số và mẫu số cho \( x^2 \): \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{x}{x^2} - \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{9}{x^2}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{9}{x^2}} = \frac{0 - 0}{1 - 0} = 0 \] - Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang tại \( y = 0 \). 3. Tiệm cận xiên: - Hàm số \( y = \frac{x-2}{x^2-9} \) là một phân thức hữu tỉ, trong đó bậc của tử số (1) nhỏ hơn bậc của mẫu số (2). Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên. Tóm lại, đồ thị hàm số \( y = \frac{x-2}{x^2-9} \) có 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang. Vậy tổng cộng có 3 đường tiệm cận. Đáp án đúng là: C. 3 Câu 9: Để tìm tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x+1}{x-x^2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): Biểu thức xác định khi mẫu số khác 0, tức là: \[ x - x^2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x(1-x) \neq 0 \] \[ \Rightarrow x \neq 0 \quad \text{và} \quad x \neq 1 \] 2. Tìm các đường tiệm cận đứng: Đường tiệm cận đứng xuất hiện khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. Xét phương trình: \[ x(1-x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] - Với \( x = 0 \), tử số là \( x + 1 = 1 \neq 0 \), do đó \( x = 0 \) là tiệm cận đứng. - Với \( x = 1 \), tử số là \( x + 1 = 2 \neq 0 \), do đó \( x = 1 \) là tiệm cận đứng. Vậy có 2 đường tiệm cận đứng: \( x = 0 \) và \( x = 1 \). 3. Tìm các đường tiệm cận ngang: Để tìm tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): \[ y = \frac{x+1}{x-x^2} = \frac{x+1}{-x^2 + x} = \frac{1 + \frac{1}{x}}{-x + 1} \] Khi \( x \to \pm \infty \), ta có: \[ y \approx \frac{1}{-x} \to 0 \] Do đó, đường tiệm cận ngang là \( y = 0 \). 4. Kết luận: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là \( 2 + 1 = 3 \). Vậy đáp án đúng là C. 3. Câu 10: Để xác định số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = \frac{x-1}{\sqrt{2-x-x^2}} \), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): Biểu thức dưới dấu căn là \( 2 - x - x^2 \). Để căn thức có nghĩa, ta cần: \[ 2 - x - x^2 > 0 \] Giải bất phương trình này, ta có: \[ -x^2 - x + 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + x - 2 < 0 \] Phân tích \( x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2) \). Xét dấu của biểu thức: - Nghiệm của phương trình là \( x = 1 \) và \( x = -2 \). - Bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|ccc|c} x & -\infty & -2 & 1 & +\infty \\ \hline x-1 & - & - & 0 & + \\ x+2 & - & 0 & + & + \\ \hline (x-1)(x+2) & + & 0 & - & + \\ \end{array} \] - Do đó, \( x^2 + x - 2 < 0 \) khi \( -2 < x < 1 \). Vậy, điều kiện xác định của hàm số là \( -2 < x < 1 \). 2. Xét các đường tiệm cận: - Tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số tiến tới 0 trong khi tử số không tiến tới 0. Xét các giới hạn tại các điểm biên của khoảng xác định: - Khi \( x \to -2^+ \), \( \sqrt{2-x-x^2} \to 0^+ \) và \( x-1 \to -3 \). Do đó, \( y \to -\infty \). - Khi \( x \to 1^- \), \( \sqrt{2-x-x^2} \to 0^+ \) và \( x-1 \to 0^- \). Do đó, \( y \to -\infty \). Vậy, có hai tiệm cận đứng tại \( x = -2 \) và \( x = 1 \). - Tiệm cận ngang: Xét giới hạn khi \( x \to \pm\infty \): - Khi \( x \to \pm\infty \), \( 2-x-x^2 \to -\infty \) nên \( \sqrt{2-x-x^2} \) không xác định trong khoảng xác định của hàm số. Do đó, không có tiệm cận ngang. 3. Kết luận: Hàm số có 2 đường tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang. Vậy, số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 2. Đáp án đúng là B. 2. Câu 11: Để xác định số lượng đường tiệm cận của đồ thị hàm số, ta cần xem xét các loại đường tiệm cận có thể có: 1. Đường tiệm cận đứng: Xảy ra khi hàm số có giới hạn vô cực tại một điểm nào đó. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: - Khi \( x \to 1^- \), \( f(x) \to +\infty \). - Khi \( x \to 1^+ \), \( f(x) \to -\infty \). Vậy, \( x = 1 \) là một đường tiệm cận đứng. 2. Đường tiệm cận ngang: Xảy ra khi \( x \to \pm\infty \) mà \( f(x) \) tiến tới một giá trị hữu hạn. - Khi \( x \to -\infty \), \( f(x) \to 3 \). - Khi \( x \to +\infty \), \( f(x) \to 5 \). Vậy, \( y = 3 \) và \( y = 5 \) là hai đường tiệm cận ngang. Tổng hợp lại, đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận: 1 đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang. Vậy, đáp án đúng là A. 3. Câu 12: Để xác định đồ thị hàm số nào có tiệm cận xiên, ta cần xét các hàm số dạng phân thức và tìm tiệm cận xiên nếu có. Tiệm cận xiên xuất hiện khi bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số đúng 1 đơn vị. Xét từng hàm số: A. \( y = \frac{x-1}{2x+1} \) - Tử số có bậc 1, mẫu số có bậc 1. Vì bậc tử số không lớn hơn bậc mẫu số đúng 1 đơn vị nên không có tiệm cận xiên. B. \( y = x^3 + 3x^2 - 1 \) - Đây là hàm đa thức bậc 3, không phải phân thức, nên không có tiệm cận xiên. C. \( y = \frac{x^3-2x-1}{1-x} \) - Tử số có bậc 3, mẫu số có bậc 1. Bậc tử số lớn hơn bậc mẫu số đúng 2 đơn vị, không thỏa điều kiện để có tiệm cận xiên. D. \( y = \frac{x^2}{x^2-1} \) - Tử số có bậc 2, mẫu số có bậc 2. Vì bậc tử số không lớn hơn bậc mẫu số đúng 1 đơn vị nên không có tiệm cận xiên. Kết luận: Không có hàm số nào trong các lựa chọn trên có tiệm cận xiên. Câu 13: Để tìm tiệm cận xiên của hàm số \( y = \frac{2x^2 - 3x - 1}{x - 2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là: \[ x - 2 \neq 0 \] Vậy, \( x \neq 2 \). Bước 2: Chia đa thức Để tìm tiệm cận xiên, ta thực hiện phép chia đa thức \( 2x^2 - 3x - 1 \) cho \( x - 2 \). 1. Chia \( 2x^2 \) cho \( x \), được \( 2x \). 2. Nhân \( 2x \) với \( x - 2 \), được \( 2x^2 - 4x \). 3. Lấy \( 2x^2 - 3x - 1 \) trừ đi \( 2x^2 - 4x \), được \( x - 1 \). 4. Chia \( x \) cho \( x \), được \( 1 \). 5. Nhân \( 1 \) với \( x - 2 \), được \( x - 2 \). 6. Lấy \( x - 1 \) trừ đi \( x - 2 \), được \( 1 \). Kết quả phép chia là: \[ 2x + 1 + \frac{1}{x-2} \] Bước 3: Xác định tiệm cận xiên Khi \( x \to \pm \infty \), \(\frac{1}{x-2} \to 0\). Do đó, hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng: \[ y = 2x + 1 \] Kết luận Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \( y = 2x + 1 \).