Giải những câu sau

Câu 14: Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 - 2x + 2}{-2x + 2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Phân tích hàm số: Hàm số đã cho là \( y = \frac{x^2 - 2x + 2}{-2x + 2} \). 2. Tìm tiệm cận xiên: Tiệm cận xiên của hàm số \( y = \frac{P(x)}{Q(x)} \) (với \( P(x) \) và \( Q(x) \) là đa thức) có dạng \( y = ax + b \). Để tìm \( a \) và \( b \), ta thực hiện phép chia đa thức \( P(x) \) cho \( Q(x) \). 3. Thực hiện phép chia đa thức: Chia \( x^2 - 2x + 2 \) cho \( -2x + 2 \): - Chia \( x^2 \) cho \( -2x \): \[ \frac{x^2}{-2x} = -\frac{1}{2}x \] - Nhân \( -\frac{1}{2}x \) với \( -2x + 2 \): \[ -\frac{1}{2}x \cdot (-2x + 2) = x^2 - x \] - Trừ \( x^2 - 2x + 2 \) cho \( x^2 - x \): \[ (x^2 - 2x + 2) - (x^2 - x) = -x + 2 \] - Chia \( -x \) cho \( -2x \): \[ \frac{-x}{-2x} = \frac{1}{2} \] - Nhân \( \frac{1}{2} \) với \( -2x + 2 \): \[ \frac{1}{2} \cdot (-2x + 2) = -x + 1 \] - Trừ \( -x + 2 \) cho \( -x + 1 \): \[ (-x + 2) - (-x + 1) = 1 \] Kết quả của phép chia là: \[ \frac{x^2 - 2x + 2}{-2x + 2} = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{-2x + 2} \] 4. Xác định tiệm cận xiên: Khi \( x \to \pm \infty \), phần dư \( \frac{1}{-2x + 2} \) tiến về 0. Do đó, tiệm cận xiên của hàm số là: \[ y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \] 5. Tính \( a^3 + 2b \): Từ tiệm cận xiên \( y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \), ta có: \[ a = -\frac{1}{2}, \quad b = \frac{1}{2} \] Do đó: \[ a^3 + 2b = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 2 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{8} + 1 = \frac{7}{8} \] Đáp án đúng là: \[ \boxed{D. 3} \] Câu 15: Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 1} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tiệm cận xiên: Tiệm cận xiên của hàm số \( y = \frac{P(x)}{Q(x)} \) có dạng \( y = ax + b \), trong đó \( P(x) \) và \( Q(x) \) là các đa thức với bậc của \( P(x) \) lớn hơn bậc của \( Q(x) \) đúng một đơn vị. Ta thực hiện phép chia đa thức \( P(x) \) cho \( Q(x) \): \[ \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 1} \] Thực hiện phép chia: \[ \begin{array}{r|rr} & x^2 + x + 1 \\ \hline x^2 - 1 & 1 \\ & x^2 - 1 \\ \hline & x + 2 \\ \end{array} \] Kết quả của phép chia là: \[ \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - 1} = 1 + \frac{x + 2}{x^2 - 1} \] Do đó, tiệm cận xiên của hàm số là: \[ y = 1 + \frac{x + 2}{x^2 - 1} \] Khi \( x \to \infty \), phần dư \( \frac{x + 2}{x^2 - 1} \) tiến đến 0, nên tiệm cận xiên là: \[ y = 1 \] 2. Kiểm tra các điểm: Ta kiểm tra các điểm \( A(-1; 2) \), \( B(2; 2) \), \( C(2; -2) \), và \( D(2; -1) \) để xem điểm nào nằm trên đường thẳng \( y = 1 \). - Điểm \( A(-1; 2) \): \( y = 2 \neq 1 \) - Điểm \( B(2; 2) \): \( y = 2 \neq 1 \) - Điểm \( C(2; -2) \): \( y = -2 \neq 1 \) - Điểm \( D(2; -1) \): \( y = -1 \neq 1 \) Không có điểm nào trong các điểm đã cho nằm trên đường thẳng \( y = 1 \). Kết luận: Không có điểm nào trong các điểm đã cho thuộc đường thẳng \( d \). Đáp án: Không có điểm nào trong các điểm đã cho thuộc đường thẳng \( d \). Câu 1: Hàm số đã cho có dạng phân thức hữu tỉ, do đó đồ thị của nó sẽ có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. Để tìm tiệm cận đứng, ta cần tìm giá trị của x làm cho mẫu số bằng 0: \[ x - 1 = 0 \] \[ x = 1 \] Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \( x = 1 \). Để tìm tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{5}{x-1} = 0 \] Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \( y = 0 \). Tiếp theo, ta kiểm tra các đáp án: a. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. - Sai, vì chúng ta đã tìm thấy tiệm cận ngang là \( y = 0 \). b. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \( x = 1 \). - Đúng, vì chúng ta đã tìm thấy tiệm cận đứng là \( x = 1 \). c. Giao điểm của hai tiệm cận đồ thị nằm trên trục hoành. - Sai, vì giao điểm của hai tiệm cận là \( (1, 0) \), nằm trên trục hoành. d. Giao điểm của hai tiệm cận đồ thị là đỉnh parabol \( y = x^2 - 2x + 1 \). - Sai, vì giao điểm của hai tiệm cận là \( (1, 0) \), nhưng đỉnh của parabol \( y = x^2 - 2x + 1 \) là \( (1, 0) \). Tuy nhiên, đây là sự trùng hợp ngẫu nhiên, không liên quan trực tiếp đến tính chất của hàm số ban đầu. Vậy, đáp án đúng là: b. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \( x = 1 \). Câu 2: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến hàm số \( y = \frac{1 - 4x}{2x - 1} \), chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần a, b, c và d. Phần a: Tiệm cận ngang Tiệm cận ngang của hàm số \( y = \frac{1 - 4x}{2x - 1} \) được xác định bằng cách tìm giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm\infty \). \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - 4x}{2x - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-4x + 1}{2x - 1} = \frac{-4}{2} = -2 \] Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \( y = -2 \). Do đó, câu a sai. Phần b: Tiệm cận đứng Tiệm cận đứng của hàm số \( y = \frac{1 - 4x}{2x - 1} \) được xác định bằng cách tìm giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng 0. \[ 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \] Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \( x = \frac{1}{2} \). Do đó, câu b sai. Phần c: Giao điểm của tiệm cận ngang và đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x - 2 \) Tiệm cận ngang của hàm số \( y = \frac{1 - 4x}{2x - 1} \) là \( y = -2 \). Chúng ta cần tìm giao điểm của đường thẳng này với đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x - 2 \). \[ x^3 - 3x - 2 = -2 \implies x^3 - 3x = 0 \implies x(x^2 - 3) = 0 \] Giải phương trình trên, ta có: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 3 = 0 \implies x = \sqrt{3} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{3} \] Vậy đường tiệm cận ngang cắt đồ thị hàm số \( y = x^3 - 3x - 2 \) tại 3 điểm. Do đó, câu c đúng. Phần d: Diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi 2 tiệm cận và hai trục tọa độ Hai tiệm cận của hàm số \( y = \frac{1 - 4x}{2x - 1} \) là \( y = -2 \) và \( x = \frac{1}{2} \). Hình chữ nhật giới hạn bởi hai tiệm cận và hai trục tọa độ có chiều dài là khoảng cách từ \( x = \frac{1}{2} \) đến \( x = 0 \) và chiều rộng là khoảng cách từ \( y = -2 \) đến \( y = 0 \). Chiều dài: \( \left| \frac{1}{2} - 0 \right| = \frac{1}{2} \) Chiều rộng: \( \left| -2 - 0 \right| = 2 \) Diện tích hình chữ nhật: \[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \] Do đó, câu d sai. Kết luận: - Câu a: Sai - Câu b: Sai - Câu c: Đúng - Câu d: Sai Đáp án cuối cùng: \[ \boxed{\text{c}} \] Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích hàm số $y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}$ và tìm các đặc điểm của đồ thị hàm số, bao gồm các đường tiệm cận. Điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. Tiệm cận ngang Để tìm tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi $x \to \pm \infty$: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \left( x + \frac{-x + 1}{x - 1} \right) = \lim_{x \to \pm \infty} x = \pm \infty \] Do đó, hàm số không có tiệm cận ngang. Tiệm cận xiên Để tìm tiệm cận xiên, ta viết lại hàm số dưới dạng: \[ y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = x + \frac{1}{x-1} \] Khi $x \to \pm \infty$, $\frac{1}{x-1} \to 0$, do đó tiệm cận xiên là $y = x$. Phân tích các lựa chọn a. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Đúng, như đã phân tích ở trên. b. Đường tiệm cận xiên của đồ thị tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích. Đường tiệm cận xiên là $y = x$. Đường này cắt trục $Ox$ tại điểm $(0, 0)$ và cắt trục $Oy$ tại điểm $(0, 0)$. Do đó, không tạo thành tam giác với hai trục tọa độ. c. Giao điểm hai tiệm cận của đồ thị nằm trên parabol $y = x^2$. Đồ thị chỉ có một tiệm cận xiên $y = x$ và không có tiệm cận ngang. Do đó, không có giao điểm của hai tiệm cận. d. Đường tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng $x + y - \pi = 0$. Đường thẳng $x + y - \pi = 0$ có hệ số góc $-1$. Đường tiệm cận xiên $y = x$ có hệ số góc $1$. Hai đường thẳng vuông góc khi tích hệ số góc của chúng bằng $-1$. Ở đây, $1 \cdot (-1) = -1$, do đó hai đường thẳng vuông góc. Kết luận - a. Đúng. - b. Sai. - c. Sai. - d. Đúng.