Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O), đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.

Để chứng minh tứ giác \( AEHF \) nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng hai góc đối diện của tứ giác này bằng \( 180^\circ \). 1. Xét tam giác \( \triangle ABE \) và \( \triangle ACF \): - Vì \( AD, BE, CF \) là các đường cao của tam giác \( \triangle ABC \), nên \( \angle AEB = 90^\circ \) và \( \angle AFC = 90^\circ \). 2. Xét tứ giác \( AEHF \): - Ta có \( \angle AEB = 90^\circ \) và \( \angle AFC = 90^\circ \). - Do đó, \( \angle AEB + \angle AFC = 180^\circ \). 3. Xét góc \( \angle AHF \): - Vì \( H \) là trực tâm của tam giác \( \triangle ABC \), nên \( \angle AHF = 180^\circ - \angle BAC \). 4. Xét góc \( \angle AEF \): - Ta có \( \angle AEF = \angle BAC \) (vì \( \angle AEB = 90^\circ \) và \( \angle AFC = 90^\circ \)). 5. Tổng hai góc đối diện của tứ giác \( AEHF \): - Ta có \( \angle AEF + \angle AHF = \angle BAC + (180^\circ - \angle BAC) = 180^\circ \). Vì tổng hai góc đối diện của tứ giác \( AEHF \) bằng \( 180^\circ \), nên tứ giác \( AEHF \) nội tiếp. Vậy, tứ giác \( AEHF \) là tứ giác nội tiếp.