hãy giúp tôi

Câu 10: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của $\sin\alpha$ và $\tan\alpha$ khi biết $\cos\alpha = \frac{3}{4}$. 1. Tìm $\sin\alpha$: Sử dụng công thức lượng giác cơ bản: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Thay $\cos\alpha = \frac{3}{4}$ vào công thức trên, ta có: \[ \sin^2\alpha + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2\alpha + \frac{9}{16} = 1 \] \[ \sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16}{16} - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \] \[ \sin\alpha = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{4} \] Vì không có thông tin về góc $\alpha$ thuộc góc phần tư nào, ta chỉ có thể kết luận rằng $\sin\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}$ hoặc $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{7}}{4}$. 2. Tìm $\tan\alpha$: Sử dụng công thức: \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \] Với $\sin\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}$, ta có: \[ \tan\alpha = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{3} \] Với $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{7}}{4}$, ta có: \[ \tan\alpha = \frac{-\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{3} \] Kết luận: Đáp án phù hợp với các giá trị đã tính là $\sin\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}$ và $\tan\alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}$, tương ứng với đáp án C. Câu 11: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của $\cot\alpha$ khi biết $\sin\alpha = \frac{5}{13}$ và $\alpha$ là góc nhọn. 1. Tìm $\cos\alpha$: Vì $\alpha$ là góc nhọn, nên $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Thay $\sin\alpha = \frac{5}{13}$ vào, ta có: \[ \left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \frac{25}{169} + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \cos^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \] Vì $\alpha$ là góc nhọn, nên $\cos\alpha > 0$. Do đó: \[ \cos\alpha = \frac{12}{13} \] 2. Tính $\cot\alpha$: Ta có $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Thay các giá trị đã tìm được vào, ta có: \[ \cot\alpha = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5} \] Vậy, giá trị của $\cot\alpha$ là $\frac{12}{5}$. Kết luận: Đáp án đúng là A. $\cot\alpha = \frac{12}{5}$. Câu 1: Để giải quyết bài toán này, ta cần xem xét các khẳng định dựa trên các tính chất của tam giác vuông và các định nghĩa về các hàm lượng giác. Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có: 1. Khẳng định A: \(\sin B = \cos C\). Trong tam giác vuông, góc B và góc C là hai góc nhọn và có tổng bằng 90 độ. Theo định nghĩa của các hàm lượng giác trong tam giác vuông, ta có: - \(\sin B = \frac{\text{đối diện với góc B}}{\text{cạnh huyền}}\) - \(\cos C = \frac{\text{kề với góc C}}{\text{cạnh huyền}}\) Do góc B và góc C là hai góc phụ nhau (tổng bằng 90 độ), nên \(\sin B = \cos C\). Khẳng định này là đúng. 2. Khẳng định B: \(\cot B = \cot C\). - \(\cot B = \frac{\text{kề với góc B}}{\text{đối diện với góc B}}\) - \(\cot C = \frac{\text{kề với góc C}}{\text{đối diện với góc C}}\) Trong tam giác vuông, \(\cot B\) và \(\cot C\) không thể bằng nhau vì góc B và góc C là hai góc khác nhau. Khẳng định này là sai. 3. Khẳng định C: \(\tan B = \cot C\). - \(\tan B = \frac{\text{đối diện với góc B}}{\text{kề với góc B}}\) - \(\cot C = \frac{\text{kề với góc C}}{\text{đối diện với góc C}}\) Do góc B và góc C là hai góc phụ nhau, nên \(\tan B = \cot C\). Khẳng định này là đúng. 4. Khẳng định D: \(\sin^2 B + \cos^2 C = 1\). Từ khẳng định A, ta đã biết \(\sin B = \cos C\). Do đó: \[ \sin^2 B + \cos^2 C = \sin^2 B + \sin^2 B = 2\sin^2 B \] Điều này không bằng 1 trừ khi \(\sin B = 0\), điều này không thể xảy ra trong tam giác vuông. Khẳng định này là sai. Tóm lại: - Khẳng định A là đúng. - Khẳng định B là sai. - Khẳng định C là đúng. - Khẳng định D là sai. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, trước tiên chúng ta cần xác định các cạnh của tam giác vuông $\Delta ABC$ vuông tại A. Ta có $AB = 3~cm$ và $BC = 5~cm$. Do tam giác vuông tại A, nên $AC$ là cạnh còn lại. Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông $\Delta ABC$, ta có: \[ AC^2 = BC^2 - AB^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \] Do đó, $AC = \sqrt{16} = 4~cm$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. $\cos B = \frac{3}{4}$ Trong tam giác vuông, $\cos B = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}$. Vậy khẳng định A là sai. B. $\sin C = \frac{3}{5}$ Trong tam giác vuông, $\sin C = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}$. Vậy khẳng định B là đúng. C. $\sin B = \frac{4}{5}$ Trong tam giác vuông, $\sin B = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}$. Vậy khẳng định C là đúng. D. $\cot C = \frac{4}{5}$ Trong tam giác vuông, $\cot C = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3}$. Vậy khẳng định D là sai. Tóm lại: - Khẳng định A là sai. - Khẳng định B là đúng. - Khẳng định C là đúng. - Khẳng định D là sai. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, ta cần sử dụng các định nghĩa và tính chất của các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông. Cho tam giác ABC vuông tại C, ta có: 1. Khẳng định A: \(\cos A = \frac{5}{13}\) Theo định nghĩa của cosin trong tam giác vuông, \(\cos A = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}\). Do \(AC = \frac{5}{13}AB\), ta có: \[ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{13} \] Khẳng định A là đúng. 2. Khẳng định B: \(\tan B = \frac{12}{5}\) Theo định nghĩa của tang trong tam giác vuông, \(\tan B = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}}\). Trong tam giác ABC, cạnh đối với góc B là \(AC\) và cạnh kề là \(BC\). Ta cần tìm \(BC\). Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác ABC: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Đặt \(AB = 1\) (vì \(\frac{AC}{AB} = \frac{5}{13}\), nên \(AC = \frac{5}{13}\)), ta có: \[ 1^2 = \left(\frac{5}{13}\right)^2 + BC^2 \] \[ 1 = \frac{25}{169} + BC^2 \] \[ BC^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \] \[ BC = \frac{12}{13} \] Do đó, \(\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}\). Khẳng định B là sai. 3. Khẳng định C: \(\sin A + \sin B = \frac{17}{13}\) Theo định nghĩa của sin trong tam giác vuông, \(\sin A = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}\) và \(\sin B = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}\). Ta có: \[ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{\frac{12}{13}}{1} = \frac{12}{13} \] \[ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{13} \] Do đó: \[ \sin A + \sin B = \frac{12}{13} + \frac{5}{13} = \frac{17}{13} \] Khẳng định C là đúng. 4. Khẳng định D: \(\cot A + \cot B = \frac{37}{60}\) Theo định nghĩa của cotang trong tam giác vuông, \(\cot A = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}}\) và \(\cot B = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}}\). Ta có: \[ \cot A = \frac{BC}{AC} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5} \] \[ \cot B = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{12} \] Do đó: \[ \cot A + \cot B = \frac{12}{5} + \frac{5}{12} \] Quy đồng mẫu số: \[ \cot A + \cot B = \frac{144}{60} + \frac{25}{60} = \frac{169}{60} \] Khẳng định D là sai. Tóm lại: - Khẳng định A là đúng. - Khẳng định B là sai. - Khẳng định C là đúng. - Khẳng định D là sai. Câu 4: Để xác định đúng sai của các khẳng định, ta sẽ xem xét từng khẳng định một cách chi tiết: A. \(\sin 20^0 < \sin 70^0\) - Ta biết rằng hàm số \(\sin x\) là hàm số đồng biến trong khoảng \([0^0, 90^0]\). Do đó, nếu \(20^0 < 70^0\) thì \(\sin 20^0 < \sin 70^0\). - Khẳng định A là đúng. B. \(\cot 40^0 < \cot 50^0\) - Ta biết rằng hàm số \(\cot x\) là hàm số nghịch biến trong khoảng \((0^0, 90^0)\). Do đó, nếu \(40^0 < 50^0\) thì \(\cot 40^0 > \cot 50^0\). - Khẳng định B là sai. C. \(\tan 20^0 \cdot \tan 70^0 = 2\) - Ta có công thức: \(\tan (90^0 - x) = \cot x\). Do đó, \(\tan 70^0 = \cot 20^0\). - Khi đó, \(\tan 20^0 \cdot \tan 70^0 = \tan 20^0 \cdot \cot 20^0 = 1\). - Khẳng định C là sai. D. \(\sin^2 10^0 + \sin^2 80^0 = \frac{1}{2}\) - Ta có công thức: \(\sin (90^0 - x) = \cos x\). Do đó, \(\sin 80^0 = \cos 10^0\). - Khi đó, \(\sin^2 10^0 + \sin^2 80^0 = \sin^2 10^0 + \cos^2 10^0 = 1\). - Khẳng định D là sai. Tóm lại, chỉ có khẳng định A là đúng. Câu 1: Để tìm giá trị của \(\cos C\) trong tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\), ta cần nhớ rằng trong tam giác vuông, tỉ số của các cạnh liên quan đến các góc nhọn có thể được biểu diễn bằng các hàm lượng giác. Trong tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\), góc \(C\) là một trong hai góc nhọn. Theo định nghĩa của hàm cosin trong tam giác vuông, ta có: \[ \cos C = \frac{\text{cạnh kề góc } C}{\text{cạnh huyền}} \] Giả sử cạnh \(AB\) là cạnh kề góc \(C\) và cạnh \(BC\) là cạnh huyền. Khi đó, ta có: \[ \cos C = \frac{AB}{BC} \] Vậy, \(\cos C\) bằng tỉ số giữa độ dài của cạnh kề góc \(C\) và độ dài của cạnh huyền trong tam giác vuông \(ABC\). Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số kiến thức cơ bản về lượng giác. Cho hai góc nhọn \(\alpha\) và \(\beta\) thỏa mãn \(\alpha + \beta = 90^\circ\). Điều này có nghĩa là \(\alpha\) và \(\beta\) là hai góc phụ nhau. Theo định nghĩa của các góc phụ nhau trong lượng giác, ta có: \[ \tan \alpha = \cot \beta \] Vì \(\alpha + \beta = 90^\circ\), nên \(\beta = 90^\circ - \alpha\). Do đó, \(\tan \alpha = \cot (90^\circ - \alpha)\). Theo công thức lượng giác, ta biết rằng: \[ \cot (90^\circ - \alpha) = \tan \alpha \] Vậy, \(\tan \alpha = \cot \beta\). Kết luận: \(\tan \alpha = \cot \beta\). Câu 3: Để tìm giá trị của biểu thức \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha\), ta sử dụng một trong những đẳng thức cơ bản trong lượng giác. Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông, đối với một góc nhọn \(\alpha\), ta có: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Đây là một đẳng thức cơ bản và luôn đúng với mọi góc nhọn \(\alpha\). Vậy, giá trị của \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha\) là 1. Câu 4: Để tìm tỉ số lượng giác \(\cos B\) của tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\), ta cần xác định độ dài các cạnh liên quan. 1. Tính độ dài cạnh \(AB\): Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(AHC\), ta có: \[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \] Thay số vào, ta có: \[ 15^2 = AH^2 + 6^2 \] \[ 225 = AH^2 + 36 \] \[ AH^2 = 225 - 36 = 189 \] \[ AH = \sqrt{189} \] 2. Tính độ dài cạnh \(AB\): Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(ABC\), ta có: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Ta cần tìm \(BC\) trước. Sử dụng công thức đường cao trong tam giác vuông: \[ AH^2 = CH \cdot BH \] \[ 189 = 6 \cdot BH \] \[ BH = \frac{189}{6} = 31.5 \] Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(AHB\): \[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \] \[ AB^2 = 189 + 31.5^2 \] \[ AB^2 = 189 + 992.25 = 1181.25 \] \[ AB = \sqrt{1181.25} \] 3. Tính \(\cos B\): Trong tam giác vuông \(ABC\), \(\cos B\) được tính bằng tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền: \[ \cos B = \frac{AC}{AB} \] Thay số vào, ta có: \[ \cos B = \frac{15}{\sqrt{1181.25}} \] Vậy, tỉ số lượng giác \(\cos B\) là \(\frac{15}{\sqrt{1181.25}}\). Câu 5: Để tìm tỉ số lượng giác sin B của tam giác ABC vuông tại A, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông: Tam giác ABC vuông tại A, nên ta có: \[ AB^2 = BH \cdot BC \] \[ AC^2 = CH \cdot BC \] 2. Tính độ dài cạnh BC: Từ hai phương trình trên, ta có: \[ AB^2 = 12 \cdot BC \] \[ AC^2 = 11 \cdot BC \] Cộng hai phương trình lại, ta được: \[ AB^2 + AC^2 = (12 + 11) \cdot BC = 23 \cdot BC \] Theo định lý Pythagore trong tam giác ABC, ta có: \[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \] Do đó: \[ BC^2 = 23 \cdot BC \] Suy ra: \[ BC = 23 \] 3. Tính sin B: Sin của góc B trong tam giác vuông ABC là tỉ số giữa cạnh đối diện (AC) và cạnh huyền (BC): \[ \sin B = \frac{AC}{BC} \] Từ phương trình: \[ AC^2 = 11 \cdot BC \] Thay BC = 23 vào, ta có: \[ AC^2 = 11 \cdot 23 = 253 \] Suy ra: \[ AC = \sqrt{253} \] Do đó: \[ \sin B = \frac{\sqrt{253}}{23} \] Tính giá trị gần đúng: \[ \sin B \approx \frac{15.9}{23} \approx 0.69 \] Vậy, tỉ số lượng giác sin B (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2) là 0.69.