Câu $ m 24$. Câu 24: Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=5,~a_{n+1}=q.a_n+3$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*,$ trong đó q là hằng số,,$q
e0,q
e1.$ Biết công thức số hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng $a_n=\alpha.q^{n-1}+\beta\frac{1-q^{n-1}}{1-q}.$,Giá trị của a++2 bằng

Question

Câu $m 24$. Câu 24: Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=5,~a_{n+1}=q.a_n+3$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*,$ trong đó q là hằng số,,$q
e0,q
e1.$ Biết công thức số hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng $a_n=\alpha.q^{n-1}+\beta\frac{1-q^{n-1}}{1-q}.$,Giá trị của a++2 bằng

Accepted Answer

Câu 24:
Để tìm giá trị của $ a_2 $ trong dãy số $(a_n)$ xác định bởi $ a_1 = 5 $ và $ a_{n+1} = q \cdot a_n + 3 $ với $ q \neq 0 $ và $ q \neq 1 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định $ a_2 $ từ công thức truy hồi:
   $$
   a_2 = q \cdot a_1 + 3
   $$
   Thay $ a_1 = 5 $ vào:
   $$
   a_2 = q \cdot 5 + 3 = 5q + 3
   $$

2. Kiểm tra công thức số hạng tổng quát:
   Công thức số hạng tổng quát của dãy số là:
   $$
   a_n = \alpha q^{n-1} + \beta \frac{1 - q^{n-1}}{1 - q}
   $$
   Ta cần kiểm tra xem công thức này có thỏa mãn điều kiện ban đầu và công thức truy hồi hay không.

3. Thay $ n = 1 $ vào công thức tổng quát để tìm $ \alpha $ và $ \beta $:
   $$
   a_1 = \alpha q^{1-1} + \beta \frac{1 - q^{1-1}}{1 - q} = \alpha \cdot 1 + \beta \cdot \frac{1 - 1}{1 - q} = \alpha
   $$
   Vì $ a_1 = 5 $, nên:
   $$
   \alpha = 5
   $$

4. Thay $ n = 2 $ vào công thức tổng quát để kiểm tra $ a_2 $:
   $$
   a_2 = \alpha q^{2-1} + \beta \frac{1 - q^{2-1}}{1 - q} = 5q + \beta \frac{1 - q}{1 - q} = 5q + \beta
   $$
   So sánh với kết quả từ công thức truy hồi $ a_2 = 5q + 3 $:
   $$
   5q + \beta = 5q + 3
   $$
   Suy ra:
   $$
   \beta = 3
   $$

5. Kết luận:
   Giá trị của $ a_2 $ là:
   $$
   a_2 = 5q + 3
   $$

Vậy giá trị của $ a_2 $ là $ 5q + 3 $.

Câu $\rm 24$.