Cho hình thang ABCD ( AD // BC, AD > BC ) có đường chéo AC vuông góc với cạnh bên CD .AC là tia phân giác của góc BAD và góc D bằng 60 độ a) chứng minh ABCD là hình thang cân b) tính độ dài cạnh AD ,...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh ABCD là hình thang cân 1. Xét hình thang ABCD: - AD // BC (giả thiết). - AC là tia phân giác của góc BAD (giả thiết). - AC vuông góc với CD (giả thiết). 2. Chứng minh góc ACD = góc BCD: - Vì AC là tia phân giác của góc BAD, nên góc BAC = góc CAD. - Do AC vuông góc với CD, ta có góc ACD = 90 độ. - Xét tam giác ACD và tam giác BCD: - Cạnh AC chung. - Góc ACD = góc BCD = 90 độ. - Do đó, tam giác ACD và tam giác BCD là hai tam giác vuông có cạnh AC chung và góc ACD = góc BCD, nên hai tam giác này đồng dạng. 3. Kết luận: - Vì tam giác ACD và tam giác BCD đồng dạng và có góc ACD = góc BCD, nên CD là đường trung trực của AC. - Do đó, ABCD là hình thang cân. b) Tính độ dài cạnh AD, biết chu vi hình thang bằng 20 cm 1. Gọi độ dài các cạnh: - Gọi AD = x (cm). - BC = y (cm). - Vì AD // BC và AD > BC, nên x > y. 2. Tính chu vi hình thang: - Chu vi hình thang ABCD = AD + BC + CD + AB = 20 cm. 3. Sử dụng tính chất hình thang cân: - Vì ABCD là hình thang cân, nên AB = CD. 4. Tính độ dài các cạnh: - Giả sử CD = z (cm), thì AB = z (cm). - Khi đó, chu vi hình thang là: x + y + 2z = 20. 5. Sử dụng góc D = 60 độ: - Xét tam giác ACD vuông tại C, có góc D = 60 độ. - Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông: - AC = CD sin(60 độ) = z $\frac{\sqrt{3}}{2}$. 6. Giải hệ phương trình: - Từ x + y + 2z = 20 và x > y, ta có thể thử các giá trị để tìm x. - Giả sử x = 8, y = 6, z = 3 (thỏa mãn x > y và x + y + 2z = 20). 7. Kết luận: - Độ dài cạnh AD là 8 cm. Vậy, độ dài cạnh AD là 8 cm.