Tính độ dài SA.

Câu 34: Để giải bài toán này, ta cần tìm độ dài của đoạn thẳng \( SA \) trong hình chóp \( S.ABC \) với các điều kiện đã cho. Ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các yếu tố cơ bản của hình chóp: - Đáy \( ABC \) là tam giác đều cạnh \( 2a \). - \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABC) \). 2. Tìm tọa độ các điểm: - Đặt \( A(0, 0, 0) \), \( B(2a, 0, 0) \), \( C(a, a\sqrt{3}, 0) \) trong mặt phẳng \( (Oxy) \). - Do \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABC) \), nên \( S \) có tọa độ \( (0, 0, z) \). 3. Tìm tọa độ điểm \( M \): - \( M \) là trung điểm của \( SB \), nên tọa độ của \( M \) là: \[ M\left(\frac{0 + 2a}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{z + 0}{2}\right) = (a, 0, \frac{z}{2}) \] 4. Tìm tọa độ điểm \( N \): - Từ điều kiện \(\overrightarrow{NS} + 2\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{0}\), ta có: \[ \overrightarrow{NS} = -2\overrightarrow{NC} \] - Giả sử \( N(x, y, 0) \), ta có: \[ \overrightarrow{NS} = (0 - x, 0 - y, z - 0) = (-x, -y, z) \] \[ \overrightarrow{NC} = (a - x, a\sqrt{3} - y, 0) \] - Từ \(\overrightarrow{NS} = -2\overrightarrow{NC}\), ta có hệ phương trình: \[ -x = -2(a - x) \quad \Rightarrow \quad x = \frac{2a}{3} \] \[ -y = -2(a\sqrt{3} - y) \quad \Rightarrow \quad y = \frac{2a\sqrt{3}}{3} \] \[ z = 0 \] - Vậy \( N\left(\frac{2a}{3}, \frac{2a\sqrt{3}}{3}, 0\right) \). 5. Điều kiện \( AN \) vuông góc với \( CM \): - Vector \(\overrightarrow{AN} = \left(\frac{2a}{3}, \frac{2a\sqrt{3}}{3}, 0\right)\). - Vector \(\overrightarrow{CM} = \left(a - a, 0 - a\sqrt{3}, \frac{z}{2} - 0\right) = (0, -a\sqrt{3}, \frac{z}{2})\). - Điều kiện vuông góc: \(\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{CM} = 0\): \[ \frac{2a}{3} \cdot 0 + \frac{2a\sqrt{3}}{3} \cdot (-a\sqrt{3}) + 0 \cdot \frac{z}{2} = 0 \] \[ -\frac{2a^2 \cdot 3}{3} = 0 \quad \Rightarrow \quad z = a\sqrt{3} \] 6. Kết luận: - Độ dài của đoạn thẳng \( SA \) là \( z = a\sqrt{3} \). Vậy độ dài của đoạn thẳng \( SA \) là \( a\sqrt{3} \).