Giúp mình với!

Câu 11: Để xác định miền không gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào, ta cần phân tích từng bất phương trình trong các lựa chọn. 1. Xét bất phương trình \(x + y > 1\): - Đường thẳng \(x + y = 1\) có dạng \(y = -x + 1\). - Miền nghiệm của bất phương trình \(x + y > 1\) là phía trên của đường thẳng này. 2. Xét bất phương trình \(x - y < 1\): - Đường thẳng \(x - y = 1\) có dạng \(y = x - 1\). - Miền nghiệm của bất phương trình \(x - y < 1\) là phía dưới của đường thẳng này. 3. Xét bất phương trình \(x - y > 1\): - Đường thẳng \(x - y = 1\) có dạng \(y = x - 1\). - Miền nghiệm của bất phương trình \(x - y > 1\) là phía trên của đường thẳng này. 4. Xét bất phương trình \(x + y < 1\): - Đường thẳng \(x + y = 1\) có dạng \(y = -x + 1\). - Miền nghiệm của bất phương trình \(x + y < 1\) là phía dưới của đường thẳng này. Phân tích hình vẽ: - Miền không gạch nằm giữa hai đường thẳng \(x + y = 1\) và \(x - y = 1\). - Miền này nằm phía dưới đường thẳng \(x + y = 1\) và phía trên đường thẳng \(x - y = 1\). Kết luận: Miền không gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x + y < 1 \\ x - y > 1 \end{array} \right. \] Vậy đáp án đúng là \(D.\) Câu 12: Để tìm diện tích của đa giác miền nghiệm của hệ bất phương trình, ta cần xác định các đỉnh của đa giác đó. Ta sẽ giải từng bất phương trình để tìm miền nghiệm và các giao điểm. 1. Bất phương trình \(2x + 2y \leq 10\) có thể viết lại thành \(x + y \leq 5\). 2. Bất phương trình \(2y \leq 4\) có thể viết lại thành \(y \leq 2\). 3. Bất phương trình \(2x + 4y \leq 12\) có thể viết lại thành \(x + 2y \leq 6\). 4. Điều kiện \(x, y \geq 0\) là điều kiện cho các điểm nằm trong góc phần tư thứ nhất. Bây giờ, ta tìm các giao điểm của các đường thẳng biên của các bất phương trình: - Giao điểm của \(x + y = 5\) và \(y = 2\): \[ \begin{cases} x + 2 = 5 \\ y = 2 \end{cases} \Rightarrow x = 3, y = 2. \] Vậy giao điểm là \((3, 2)\). - Giao điểm của \(x + y = 5\) và \(x + 2y = 6\): \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x + 2y = 6 \end{cases} \] Trừ hai phương trình: \[ (x + 2y) - (x + y) = 6 - 5 \Rightarrow y = 1. \] Thay \(y = 1\) vào \(x + y = 5\): \[ x + 1 = 5 \Rightarrow x = 4. \] Vậy giao điểm là \((4, 1)\). - Giao điểm của \(x + 2y = 6\) và \(y = 2\): \[ \begin{cases} x + 2 \times 2 = 6 \\ y = 2 \end{cases} \Rightarrow x = 2, y = 2. \] Vậy giao điểm là \((2, 2)\). - Giao điểm của \(x + y = 5\) và trục hoành (\(y = 0\)): \[ \begin{cases} x + 0 = 5 \\ y = 0 \end{cases} \Rightarrow x = 5, y = 0. \] Vậy giao điểm là \((5, 0)\). - Giao điểm của \(x + 2y = 6\) và trục hoành (\(y = 0\)): \[ \begin{cases} x + 2 \times 0 = 6 \\ y = 0 \end{cases} \Rightarrow x = 6, y = 0. \] Vậy giao điểm là \((6, 0)\). Các đỉnh của đa giác là \((3, 2)\), \((4, 1)\), \((2, 2)\), \((5, 0)\), \((6, 0)\). Để tính diện tích của đa giác, ta sử dụng công thức diện tích đa giác với tọa độ các đỉnh: \[ S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} (x_i y_{i+1} - y_i x_{i+1}) + (x_n y_1 - y_n x_1) \right| \] Với các đỉnh theo thứ tự: \((3, 2)\), \((4, 1)\), \((6, 0)\), \((5, 0)\), \((2, 2)\). Tính toán: \[ S = \frac{1}{2} \left| 3 \times 1 + 4 \times 0 + 6 \times 0 + 5 \times 2 + 2 \times 2 - (2 \times 4 + 1 \times 6 + 0 \times 5 + 0 \times 2 + 2 \times 3) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 3 + 0 + 0 + 10 + 4 - (8 + 6 + 0 + 0 + 6) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 17 - 20 \right| = \frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2} \] Vậy diện tích của đa giác là \(\frac{15}{2}\). Đáp án: A. \(\frac{15}{2}\). Câu 13: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt xem xét từng điều kiện của hệ phương trình và tìm ra các giá trị của \( m \) sao cho hệ phương trình trên vô nghiệm. Hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x + y \leq 3 \\ x - y \geq 0 \\ x + y - m > 0 \end{array} \right. \] Bước 1: Xét điều kiện \( 2x + y \leq 3 \). Bước 2: Xét điều kiện \( x - y \geq 0 \). Điều này tương đương với \( x \geq y \). Bước 3: Xét điều kiện \( x + y - m > 0 \). Điều này tương đương với \( x + y > m \). Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các điều kiện này để tìm ra các giá trị của \( m \) sao cho hệ phương trình trên vô nghiệm. Từ \( x \geq y \), ta có thể viết lại \( y \leq x \). Thay \( y \leq x \) vào \( 2x + y \leq 3 \): \[ 2x + y \leq 3 \implies 2x + x \leq 3 \implies 3x \leq 3 \implies x \leq 1. \] Do đó, \( x \leq 1 \) và \( y \leq x \), suy ra \( y \leq 1 \). Tiếp theo, thay \( x \leq 1 \) và \( y \leq 1 \) vào \( x + y > m \): \[ x + y > m \implies 1 + 1 > m \implies 2 > m. \] Vậy \( m < 2 \). Bây giờ, chúng ta kiểm tra các giá trị của \( m \) từ 0 đến 1 (vì \( m \) là số tự nhiên và \( m < 2 \)): - Nếu \( m = 0 \): \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x + y \leq 3 \\ x - y \geq 0 \\ x + y > 0 \end{array} \right. \] Hệ này có nghiệm, ví dụ \( x = 1 \) và \( y = 0 \). - Nếu \( m = 1 \): \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x + y \leq 3 \\ x - y \geq 0 \\ x + y > 1 \end{array} \right. \] Hệ này cũng có nghiệm, ví dụ \( x = 1 \) và \( y = 0 \). Vậy, không có giá trị nào của \( m \) trong khoảng \( 0 \leq m < 2 \) làm cho hệ phương trình vô nghiệm. Do đó, số các giá trị \( m \) sao cho hệ phương trình vô nghiệm là 0. Đáp án: Không có giá trị nào của \( m \) thỏa mãn điều kiện đề bài. Câu 14: Để xác định hệ bất phương trình nào biểu diễn phần không tô đậm trong hình vẽ, ta cần phân tích từng bất phương trình trong các hệ đã cho. 1. Xét bất phương trình \(x - y < 0\) và \(x - y > 0\): - \(x - y < 0\) tương đương với \(x < y\). Đây là nửa mặt phẳng bên dưới đường thẳng \(y = x\). - \(x - y > 0\) tương đương với \(x > y\). Đây là nửa mặt phẳng bên trên đường thẳng \(y = x\). 2. Xét bất phương trình \(2x - y > 1\) và \(2x - y < 1\): - \(2x - y > 1\) tương đương với \(y < 2x - 1\). Đây là nửa mặt phẳng bên dưới đường thẳng \(y = 2x - 1\). - \(2x - y < 1\) tương đương với \(y > 2x - 1\). Đây là nửa mặt phẳng bên trên đường thẳng \(y = 2x - 1\). Phân tích hình vẽ: - Phần không tô đậm nằm bên dưới đường thẳng \(y = x\) và bên trên đường thẳng \(y = 2x - 1\). Kết luận: - Phần không tô đậm tương ứng với hệ bất phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x - y < 0 \\ 2x - y > 1 \end{array} \right. \] Do đó, đáp án đúng là \(A.\left\{\begin{array}{l}x-y<0\\2x-y>1\end{array}\right.\). Câu 15: Để xác định điểm $O(0;0)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào, ta cần kiểm tra từng hệ bất phương trình với tọa độ của điểm $O(0;0)$. Hệ A: \[ \left\{ \begin{array}{l} x + 3y - 6 > 0 \\ 2x + y + 4 > 0 \end{array} \right. \] Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào từng bất phương trình: 1. $0 + 3 \cdot 0 - 6 > 0 \Rightarrow -6 > 0$ (sai). 2. $2 \cdot 0 + 0 + 4 > 0 \Rightarrow 4 > 0$ (đúng). Vì bất phương trình đầu tiên không thỏa mãn, nên điểm $O(0;0)$ không thuộc miền nghiệm của hệ A. Hệ B: \[ \left\{ \begin{array}{l} x + 3y - 6 > 0 \\ 2x + y + 4 < 0 \end{array} \right. \] Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào từng bất phương trình: 1. $0 + 3 \cdot 0 - 6 > 0 \Rightarrow -6 > 0$ (sai). 2. $2 \cdot 0 + 0 + 4 < 0 \Rightarrow 4 < 0$ (sai). Cả hai bất phương trình đều không thỏa mãn, nên điểm $O(0;0)$ không thuộc miền nghiệm của hệ B. Hệ C: \[ \left\{ \begin{array}{l} x + 3y - 6 < 0 \\ 2x + y + 4 > 0 \end{array} \right. \] Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào từng bất phương trình: 1. $0 + 3 \cdot 0 - 6 < 0 \Rightarrow -6 < 0$ (đúng). 2. $2 \cdot 0 + 0 + 4 > 0 \Rightarrow 4 > 0$ (đúng). Cả hai bất phương trình đều thỏa mãn, nên điểm $O(0;0)$ thuộc miền nghiệm của hệ C. Hệ D: \[ \left\{ \begin{array}{l} x + 3y - 6 < 0 \\ 2x + y + 4 < 0 \end{array} \right. \] Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào từng bất phương trình: 1. $0 + 3 \cdot 0 - 6 < 0 \Rightarrow -6 < 0$ (đúng). 2. $2 \cdot 0 + 0 + 4 < 0 \Rightarrow 4 < 0$ (sai). Vì bất phương trình thứ hai không thỏa mãn, nên điểm $O(0;0)$ không thuộc miền nghiệm của hệ D. Kết luận: Điểm $O(0;0)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình C. Câu 16: Để xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình, ta cần phân tích từng đường thẳng và miền mà chúng tạo ra. 1. Xét đường thẳng \(x + 3y - 3 = 0\): - Phương trình này có dạng \(y = -\frac{1}{3}x + 1\). - Đường thẳng này cắt trục tung tại điểm \((0, 1)\) và cắt trục hoành tại điểm \((3, 0)\). - Để xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x + 3y - 3 \geq 0\) hoặc \(x + 3y - 3 \leq 0\), ta chọn một điểm thử không nằm trên đường thẳng, chẳng hạn điểm \((0, 0)\): - Thay vào: \(0 + 3(0) - 3 = -3\), nhỏ hơn 0. - Vậy miền nghiệm của \(x + 3y - 3 \leq 0\) là phía chứa điểm \((0, 0)\). 2. Xét đường thẳng \(2x + y + 2 = 0\): - Phương trình này có dạng \(y = -2x - 2\). - Đường thẳng này cắt trục tung tại điểm \((0, -2)\) và cắt trục hoành tại điểm \((-1, 0)\). - Để xác định miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y + 2 \geq 0\) hoặc \(2x + y + 2 \leq 0\), ta chọn một điểm thử không nằm trên đường thẳng, chẳng hạn điểm \((0, 0)\): - Thay vào: \(2(0) + 0 + 2 = 2\), lớn hơn 0. - Vậy miền nghiệm của \(2x + y + 2 \geq 0\) là phía chứa điểm \((0, 0)\). 3. Kết luận: - Miền không bị gạch sọc là giao của hai miền: - \(x + 3y - 3 \leq 0\) - \(2x + y + 2 \geq 0\) - Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x + 3y - 3 \leq 0 \\ 2x + y + 2 \geq 0 \end{array} \right. \] Vậy đáp án đúng là \(C\). Câu 17: Để kiểm tra cặp số $(x, y)$ nào là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y\leq2\\x-2y\geq4\\x>0\end{array}\right.$, chúng ta sẽ lần lượt thay các cặp số vào từng bất phương trình trong hệ và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn tất cả các bất phương trình hay không. Kiểm tra cặp số A. (-1; 2): 1. Thay $x = -1$ và $y = 2$ vào bất phương trình $x + y \leq 2$: \[ -1 + 2 = 1 \leq 2 \quad (\text{đúng}) \] 2. Thay $x = -1$ và $y = 2$ vào bất phương trình $x - 2y \geq 4$: \[ -1 - 2 \cdot 2 = -1 - 4 = -5 \geq 4 \quad (\text{sai}) \] 3. Thay $x = -1$ vào bất phương trình $x > 0$: \[ -1 > 0 \quad (\text{sai}) \] Cặp số A. (-1; 2) không thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ. Kiểm tra cặp số B. (-2; -4): 1. Thay $x = -2$ và $y = -4$ vào bất phương trình $x + y \leq 2$: \[ -2 + (-4) = -6 \leq 2 \quad (\text{đúng}) \] 2. Thay $x = -2$ và $y = -4$ vào bất phương trình $x - 2y \geq 4$: \[ -2 - 2 \cdot (-4) = -2 + 8 = 6 \geq 4 \quad (\text{đúng}) \] 3. Thay $x = -2$ vào bất phương trình $x > 0$: \[ -2 > 0 \quad (\text{sai}) \] Cặp số B. (-2; -4) không thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ. Kiểm tra cặp số C. (2; -4): 1. Thay $x = 2$ và $y = -4$ vào bất phương trình $x + y \leq 2$: \[ 2 + (-4) = -2 \leq 2 \quad (\text{đúng}) \] 2. Thay $x = 2$ và $y = -4$ vào bất phương trình $x - 2y \geq 4$: \[ 2 - 2 \cdot (-4) = 2 + 8 = 10 \geq 4 \quad (\text{đúng}) \] 3. Thay $x = 2$ vào bất phương trình $x > 0$: \[ 2 > 0 \quad (\text{đúng}) \] Cặp số C. (2; -4) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ. Kiểm tra cặp số D. (0; 1): 1. Thay $x = 0$ và $y = 1$ vào bất phương trình $x + y \leq 2$: \[ 0 + 1 = 1 \leq 2 \quad (\text{đúng}) \] 2. Thay $x = 0$ và $y = 1$ vào bất phương trình $x - 2y \geq 4$: \[ 0 - 2 \cdot 1 = -2 \geq 4 \quad (\text{sai}) \] 3. Thay $x = 0$ vào bất phương trình $x > 0$: \[ 0 > 0 \quad (\text{sai}) \] Cặp số D. (0; 1) không thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ. Kết luận: Cặp số $(2; -4)$ là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y\leq2\\x-2y\geq4\\x>0\end{array}\right.$. Đáp án đúng là: $C.~(2;-4)$. Câu 18: Để kiểm tra cặp số $(x, y)$ nào không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y\leq2\\x\geq-3\\y\geq-1\end{array}\right.$, chúng ta sẽ lần lượt thay các cặp số vào hệ bất phương trình và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn tất cả các điều kiện hay không. Kiểm tra cặp số A. $(3; 0)$: 1. $x + y \leq 2$: \[ 3 + 0 = 3 \quad (\text{không thỏa mãn}) \] 2. $x \geq -3$: \[ 3 \geq -3 \quad (\text{thỏa mãn}) \] 3. $y \geq -1$: \[ 0 \geq -1 \quad (\text{thỏa mãn}) \] Vì $3 + 0 = 3 > 2$, nên cặp số $(3; 0)$ không thỏa mãn bất phương trình đầu tiên. Do đó, cặp số này không là nghiệm của hệ bất phương trình. Kiểm tra cặp số B. $(-1; 1)$: 1. $x + y \leq 2$: \[ -1 + 1 = 0 \quad (\text{thỏa mãn}) \] 2. $x \geq -3$: \[ -1 \geq -3 \quad (\text{thỏa mãn}) \] 3. $y \geq -1$: \[ 1 \geq -1 \quad (\text{thỏa mãn}) \] Tất cả các điều kiện đều thỏa mãn, nên cặp số $(-1; 1)$ là nghiệm của hệ bất phương trình. Kiểm tra cặp số C. $(-2; 0)$: 1. $x + y \leq 2$: \[ -2 + 0 = -2 \quad (\text{thỏa mãn}) \] 2. $x \geq -3$: \[ -2 \geq -3 \quad (\text{thỏa mãn}) \] 3. $y \geq -1$: \[ 0 \geq -1 \quad (\text{thỏa mãn}) \] Tất cả các điều kiện đều thỏa mãn, nên cặp số $(-2; 0)$ là nghiệm của hệ bất phương trình. Kiểm tra cặp số D. $(0; 0)$: 1. $x + y \leq 2$: \[ 0 + 0 = 0 \quad (\text{thỏa mãn}) \] 2. $x \geq -3$: \[ 0 \geq -3 \quad (\text{thỏa mãn}) \] 3. $y \geq -1$: \[ 0 \geq -1 \quad (\text{thỏa mãn}) \] Tất cả các điều kiện đều thỏa mãn, nên cặp số $(0; 0)$ là nghiệm của hệ bất phương trình. Kết luận: Cặp số $(3; 0)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình. Đáp án: $A.~(3;0).$ Câu 19: Để tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình, ta cần phân tích từng bất phương trình trong hệ và tìm giao của các miền nghiệm. 1. Bất phương trình \(x \geq -1\): - Đây là miền nửa mặt phẳng nằm bên phải (bao gồm cả) đường thẳng \(x = -1\). 2. Bất phương trình \(x + y \leq 0\): - Đây là miền nửa mặt phẳng nằm bên dưới (bao gồm cả) đường thẳng \(x + y = 0\), hay có thể viết lại là \(y = -x\). 3. Bất phương trình \(y \geq 0\): - Đây là miền nửa mặt phẳng nằm bên trên (bao gồm cả) trục hoành \(y = 0\). Bây giờ, ta tìm giao của ba miền trên: - Đường thẳng \(x = -1\) cắt trục hoành tại điểm \((-1, 0)\). - Đường thẳng \(x + y = 0\) cắt trục hoành tại điểm \((0, 0)\) và cắt đường thẳng \(x = -1\) tại điểm \((-1, 1)\). - Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần giao của các miền nửa mặt phẳng trên, bao gồm các điểm \((-1, 0)\), \((0, 0)\), và \((-1, 1)\). Khi vẽ các đường thẳng và xác định miền giao, ta thấy miền nghiệm là một tam giác với các đỉnh \((-1, 0)\), \((0, 0)\), và \((-1, 1)\). Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình là một miền tam giác. Vậy đáp án đúng là: C. Miền tam giác.