Tính giá trị $\rm lim u_n$.

Câu 45: Ta sẽ tìm giới hạn của dãy số $(u_n)$ thỏa mãn: \[ \left\{ \begin{array}{l} u_1 = \frac{7}{2} \\ u_{n+1} = \frac{7u_n + 4}{2u_n + 5}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^ \end{array} \right. \] Giả sử dãy số $(u_n)$ hội tụ về giới hạn $L$. Khi đó, ta có: \[ \lim_{n \to \infty} u_{n+1} = L \quad \text{và} \quad \lim_{n \to \infty} u_n = L \] Thay vào công thức truy hồi, ta được: \[ L = \frac{7L + 4}{2L + 5} \] Nhân cả hai vế với $2L + 5$ để loại bỏ mẫu số: \[ L(2L + 5) = 7L + 4 \] Phân phối và sắp xếp lại các hạng tử: \[ 2L^2 + 5L = 7L + 4 \] \[ 2L^2 + 5L - 7L - 4 = 0 \] \[ 2L^2 - 2L - 4 = 0 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ L^2 - L - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ L^2 - L - 2 = 0 \] \[ (L - 2)(L + 1) = 0 \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ L = 2 \quad \text{hoặc} \quad L = -1 \] Bây giờ, ta cần kiểm tra xem trong hai giá trị này, giá trị nào là giới hạn thực sự của dãy số $(u_n)$. Xét tính đơn điệu và bị chặn của dãy số $(u_n)$: - Ta thấy $u_1 = \frac{7}{2} > 2$. - Giả sử $u_n > 2$, ta chứng minh $u_{n+1} > 2$: \[ u_{n+1} = \frac{7u_n + 4}{2u_n + 5} \] \[ u_{n+1} > 2 \iff \frac{7u_n + 4}{2u_n + 5} > 2 \] \[ 7u_n + 4 > 2(2u_n + 5) \] \[ 7u_n + 4 > 4u_n + 10 \] \[ 3u_n > 6 \] \[ u_n > 2 \] Vậy nếu $u_n > 2$, thì $u_{n+1} > 2$. Do đó, dãy số $(u_n)$ bị chặn dưới bởi 2. Tiếp theo, ta chứng minh dãy số giảm: \[ u_{n+1} < u_n \] \[ \frac{7u_n + 4}{2u_n + 5} < u_n \] \[ 7u_n + 4 < u_n(2u_n + 5) \] \[ 7u_n + 4 < 2u_n^2 + 5u_n \] \[ 0 < 2u_n^2 - 2u_n - 4 \] \[ 0 < u_n^2 - u_n - 2 \] \[ 0 < (u_n - 2)(u_n + 1) \] Vì $u_n > 2$, nên $(u_n - 2) > 0$ và $(u_n + 1) > 0$. Do đó, bất đẳng thức trên đúng. Vậy dãy số $(u_n)$ giảm và bị chặn dưới bởi 2, nên nó hội tụ về 2. Do đó, giới hạn của dãy số $(u_n)$ là: \[ \lim_{n \to \infty} u_n = 2 \] Đáp án cuối cùng: \[ \boxed{2} \]