Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x² + 3y² + 4x = 19.

Ta có 2x² + 3y² + 4x = 19. Nhận thấy rằng 2x² + 4x = 2(x² + 2x) = 2[(x + 1)² - 1] = 2(x + 1)² - 2. Do đó, phương trình đã cho trở thành: 2(x + 1)² - 2 + 3y² = 19 2(x + 1)² + 3y² = 21. Vì 2(x + 1)² và 3y² đều là các số không âm nên ta có: 2(x + 1)² ≤ 21 và 3y² ≤ 21. Từ đây suy ra: (x + 1)² ≤ $\frac{21}{2}$ và y² ≤ 7. Vì x và y là các số nguyên nên ta có: -3 ≤ x + 1 ≤ 3 và -$\sqrt{7}$ ≤ y ≤ $\sqrt{7}$. Do đó, x nhận các giá trị -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2 và y nhận các giá trị -2, -1, 0, 1, 2. Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta tìm được các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình là: (-2, 1), (-2, -1), (0, 2), (0, -2), (2, 1), (2, -1). Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là: (-2, 1), (-2, -1), (0, 2), (0, -2), (2, 1), (2, -1).