Câu $\rm 5$.

Câu 5: a. Ta sẽ chứng minh rằng \( a_{2023} \in \{1, 2023\} \). Giả sử \( S_k = a_1 + a_2 + \ldots + a_k \). Theo đề bài, ta có \( 2S_k \) chia hết cho \( k \) với mọi \( k = 1, 2, \ldots, 2023 \). Xét \( k = 2023 \): \[ 2S_{2023} \equiv 0 \pmod{2023}. \] Do đó: \[ S_{2023} \equiv 0 \pmod{2023}. \] Ta biết rằng \( S_{2023} = a_1 + a_2 + \ldots + a_{2023} \) là tổng của tất cả các số từ 1 đến 2023. Tổng này là: \[ S_{2023} = \frac{2023 \cdot 2024}{2} = 2023 \cdot 1012. \] Vì \( S_{2023} \equiv 0 \pmod{2023} \), suy ra: \[ 2023 \cdot 1012 \equiv 0 \pmod{2023}. \] Bây giờ, ta xét \( k = 2022 \): \[ 2S_{2022} \equiv 0 \pmod{2022}. \] Do đó: \[ S_{2022} \equiv 0 \pmod{2022}. \] Ta có: \[ S_{2022} = S_{2023} - a_{2023}. \] Vì \( S_{2023} \equiv 0 \pmod{2023} \), suy ra: \[ S_{2022} \equiv -a_{2023} \pmod{2022}. \] Do \( S_{2022} \equiv 0 \pmod{2022} \), suy ra: \[ -a_{2023} \equiv 0 \pmod{2022}. \] Do đó: \[ a_{2023} \equiv 0 \pmod{2022}. \] Vì \( a_{2023} \) là một số trong tập hợp \( \{1, 2, \ldots, 2023\} \), suy ra: \[ a_{2023} = 2022 \text{ hoặc } a_{2023} = 1. \] Tuy nhiên, nếu \( a_{2023} = 2022 \), thì \( S_{2022} = S_{2023} - 2022 \), và \( S_{2022} \) không thể chia hết cho 2022 vì \( S_{2023} \) chia hết cho 2023 nhưng không chia hết cho 2022. Do đó, \( a_{2023} \) phải là 1 hoặc 2023. b. Ta sẽ tính số các hoán vị trên. Giả sử \( a_{2023} = 1 \). Ta cần tìm số hoán vị của \( \{2, 3, \ldots, 2022\} \) sao cho \( 2(a_1 + a_2 + \ldots + a_k) \) chia hết cho \( k \) với mọi \( k = 1, 2, \ldots, 2022 \). Tương tự, nếu \( a_{2023} = 2023 \), ta cần tìm số hoán vị của \( \{1, 2, \ldots, 2022\} \) sao cho \( 2(a_1 + a_2 + \ldots + a_k) \) chia hết cho \( k \) với mọi \( k = 1, 2, \ldots, 2022 \). Do đó, số các hoán vị trên là: \[ 2 \times 2^{2022} = 2^{2023}. \] Đáp số: \( a_{2023} \in \{1, 2023\} \) và số các hoán vị trên là \( 2^{2023} \).