Câu $\rm 4$.

Câu 4: Để hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 1, ta cần thỏa mãn điều kiện: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1). \] Trước tiên, ta tính giới hạn bên trái của f(x) khi x tiến đến 1: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{(a+2) \cdot 1}{4} = \frac{a+2}{4}. \] Tiếp theo, ta tính giới hạn bên phải của f(x) khi x tiến đến 1: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{1+3x} \cdot \sqrt[3]{5+3x} - 4}{x-1}. \] Đặt \( t = x - 1 \), suy ra \( x = t + 1 \) và khi \( x \to 1^+ \), thì \( t \to 0^+ \). Ta có: \[ \lim_{t \to 0^+} \frac{\sqrt{1+3(t+1)} \cdot \sqrt[3]{5+3(t+1)} - 4}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\sqrt{4+3t} \cdot \sqrt[3]{8+3t} - 4}{t}. \] Sử dụng công thức gần đúng cho các căn bậc hai và căn bậc ba khi t rất nhỏ: \[ \sqrt{4+3t} \approx 2 + \frac{3t}{4}, \] \[ \sqrt[3]{8+3t} \approx 2 + \frac{t}{4}. \] Nhân các gần đúng này lại: \[ \sqrt{4+3t} \cdot \sqrt[3]{8+3t} \approx \left(2 + \frac{3t}{4}\right) \left(2 + \frac{t}{4}\right) = 4 + \frac{3t}{2} + \frac{t}{2} + \frac{3t^2}{16} = 4 + 2t + \frac{3t^2}{16}. \] Do đó: \[ \lim_{t \to 0^+} \frac{4 + 2t + \frac{3t^2}{16} - 4}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{2t + \frac{3t^2}{16}}{t} = \lim_{t \to 0^+} \left(2 + \frac{3t}{16}\right) = 2. \] Vậy: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = 2. \] Để hàm số liên tục tại x = 1, ta cần: \[ \frac{a+2}{4} = 2. \] Giải phương trình này: \[ a + 2 = 8, \] \[ a = 6. \] Vậy giá trị của a là 6.