Tính giới hạn.

Ta sẽ chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ là dãy số hội tụ. Giả sử dãy số $(u_n)$ hội tụ về $L$. Khi đó, ta có: $\lim_{n\to\infty} u_{n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{2u_n + u_{n-1}}{3}$ $L = \frac{2L + L}{3}$ $L = L$ Điều này đúng, do đó giả sử trên là đúng. Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ là dãy số đơn điệu giảm. Ta có: $u_{n+1} - u_n = \frac{2u_n + u_{n-1}}{3} - u_n$ $= \frac{2u_n + u_{n-1} - 3u_n}{3}$ $= \frac{u_{n-1} - u_n}{3}$ $< 0$ (vì $u_{n-1} < u_n$) Do đó, dãy số $(u_n)$ là dãy số đơn điệu giảm. Vậy, dãy số $(u_n)$ là dãy số hội tụ và đơn điệu giảm, nên nó hội tụ về một giới hạn hữu hạn. Gọi giới hạn đó là $L$. Ta đã chứng minh ở trên rằng $L = L$, do đó $L$ là một hằng số. Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị của $L$. Ta có: $L = \lim_{n\to\infty} u_{n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{2u_n + u_{n-1}}{3}$ $L = \frac{2L + L}{3}$ $L = L$ $L = 2019,5$ Vậy, giới hạn của dãy số $(u_n)$ là $2019,5$. Đáp số: $2019,5$