Câu $\rm 8$.

Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Xác định công thức tổng quát của cấp số cộng. 2. Biểu diễn \( u_2, u_3, u_4 \) theo \( u_1 \) và \( d \). 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 \). 4. Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Bước 1: Công thức tổng quát của cấp số cộng Cấp số cộng có công thức tổng quát: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Bước 2: Biểu diễn \( u_2, u_3, u_4 \) Với \( d = 2 \): \[ u_2 = u_1 + d = u_1 + 2 \] \[ u_3 = u_1 + 2d = u_1 + 4 \] \[ u_4 = u_1 + 3d = u_1 + 6 \] Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 \) Biểu thức cần tối ưu hóa: \[ u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = (u_1 + 2)^2 + (u_1 + 4)^2 + (u_1 + 6)^2 \] Mở rộng các bình phương: \[ (u_1 + 2)^2 = u_1^2 + 4u_1 + 4 \] \[ (u_1 + 4)^2 = u_1^2 + 8u_1 + 16 \] \[ (u_1 + 6)^2 = u_1^2 + 12u_1 + 36 \] Cộng lại: \[ u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 = (u_1^2 + 4u_1 + 4) + (u_1^2 + 8u_1 + 16) + (u_1^2 + 12u_1 + 36) \] \[ = 3u_1^2 + 24u_1 + 56 \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( 3u_1^2 + 24u_1 + 56 \), chúng ta lấy đạo hàm và tìm điểm cực tiểu: \[ f(u_1) = 3u_1^2 + 24u_1 + 56 \] \[ f'(u_1) = 6u_1 + 24 \] Đặt \( f'(u_1) = 0 \): \[ 6u_1 + 24 = 0 \] \[ u_1 = -4 \] Bước 4: Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng Sử dụng công thức tổng của cấp số cộng: \[ S_n = \frac{n}{2} (2u_1 + (n-1)d) \] Với \( n = 100 \), \( u_1 = -4 \), và \( d = 2 \): \[ S_{100} = \frac{100}{2} (2(-4) + (100-1) \cdot 2) \] \[ = 50 (-8 + 99 \cdot 2) \] \[ = 50 (-8 + 198) \] \[ = 50 \cdot 190 \] \[ = 9500 \] Vậy tổng của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là: \[ \boxed{9500} \]