Câu $\rm 25$.

Câu 25: Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện hai bước chính: tìm giá trị của \( n \) và sau đó tìm hệ số của số hạng chứa \( x^{10} \) trong khai triển của biểu thức \((x^2 - \frac{1}{x^3})^n\). Bước 1: Tìm giá trị của \( n \) Ta có biểu thức tổng: \[ C^0_n + 2C^1_n + 2^2C^2_n + \ldots + 2^nC^n_n = 14348907 \] Biểu thức này có thể được viết lại dưới dạng: \[ \sum_{k=0}^{n} 2^k C^k_n = 14348907 \] Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có: \[ (1 + 2)^n = \sum_{k=0}^{n} C^k_n \cdot 2^k = 3^n \] Do đó, ta có phương trình: \[ 3^n = 14348907 \] Ta nhận thấy \( 14348907 = 3^{15} \). Vậy \( n = 15 \). Bước 2: Tìm hệ số của số hạng chứa \( x^{10} \) trong khai triển của \((x^2 - \frac{1}{x^3})^{15}\) Khai triển nhị thức Newton cho \((x^2 - \frac{1}{x^3})^{15}\) là: \[ \sum_{k=0}^{15} C^k_{15} (x^2)^{15-k} \left(-\frac{1}{x^3}\right)^k \] Biểu thức này có thể viết lại thành: \[ \sum_{k=0}^{15} C^k_{15} x^{2(15-k)} \cdot (-1)^k \cdot x^{-3k} \] \[ = \sum_{k=0}^{15} C^k_{15} (-1)^k x^{30 - 5k} \] Chúng ta cần tìm hệ số của số hạng chứa \( x^{10} \), tức là: \[ 30 - 5k = 10 \] Giải phương trình này, ta có: \[ 30 - 5k = 10 \implies 5k = 20 \implies k = 4 \] Với \( k = 4 \), hệ số tương ứng là: \[ C^4_{15} \cdot (-1)^4 = C^4_{15} \] Tính \( C^4_{15} \): \[ C^4_{15} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365 \] Vậy hệ số của số hạng chứa \( x^{10} \) là \( 1365 \).