Giúp mình với!

Câu 17: Để tìm giá trị của biểu thức \( \sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha \), ta có thể sử dụng công thức cộng góc trong lượng giác. Biểu thức cần tìm là: \[ \sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha \] Theo công thức cộng góc, ta có: \[ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \] Tuy nhiên, trong bài toán này, ta có điều kiện \( \alpha + \beta = 90^\circ \). Do đó, ta có: \[ \sin(\alpha + \beta) = \sin 90^\circ = 1 \] Vậy giá trị của biểu thức \( \sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha \) là 1. Câu 18: Để tính diện tích tam giác ABC với các cạnh lần lượt là 7, 9 và 8, ta sử dụng công thức Heron. Công thức Heron cho diện tích tam giác khi biết độ dài ba cạnh là: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] trong đó \( a, b, c \) là độ dài ba cạnh của tam giác và \( p \) là nửa chu vi của tam giác, được tính bằng: \[ p = \frac{a + b + c}{2} \] Áp dụng vào tam giác ABC với \( a = 7 \), \( b = 9 \), \( c = 8 \): 1. Tính nửa chu vi \( p \): \[ p = \frac{7 + 9 + 8}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] 2. Tính diện tích \( S \) theo công thức Heron: \[ S = \sqrt{12(12-7)(12-9)(12-8)} \] \[ S = \sqrt{12 \times 5 \times 3 \times 4} \] \[ S = \sqrt{12 \times 60} \] \[ S = \sqrt{720} \] \[ S = \sqrt{144 \times 5} \] \[ S = \sqrt{144} \times \sqrt{5} \] \[ S = 12\sqrt{5} \] Vậy diện tích tam giác là \( 12\sqrt{5} \). Theo đề bài, diện tích được biểu diễn dưới dạng \( a\sqrt{b} \) với \( a = 12 \) và \( b = 5 \). Do đó, \( a + b = 12 + 5 = 17 \). Kết luận: Giá trị của \( a + b \) là 17. Câu 19: Để giải bài toán này, ta cần tính độ dài của vector \( |\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC}| \). 1. Xác định tọa độ các điểm: - Tam giác \( ABC \) đều có cạnh \( AB = 5 \). - Đặt \( B = (0, 0) \) và \( C = (5, 0) \) trên hệ trục tọa độ. - Vì tam giác đều, điểm \( A \) sẽ nằm trên đường trung trực của \( BC \). Do đó, \( A \) có tọa độ \( \left(\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2}\right) \). 2. Tính tọa độ của điểm \( H \): - \( H \) là trung điểm của \( BC \), nên tọa độ của \( H \) là: \[ H = \left(\frac{0 + 5}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, 0\right) \] 3. Tính vector \( \overrightarrow{CA} \) và \( \overrightarrow{HC} \): - Vector \( \overrightarrow{CA} \) có tọa độ: \[ \overrightarrow{CA} = \left(\frac{5}{2} - 5, \frac{5\sqrt{3}}{2} - 0\right) = \left(-\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2}\right) \] - Vector \( \overrightarrow{HC} \) có tọa độ: \[ \overrightarrow{HC} = (5 - \frac{5}{2}, 0 - 0) = \left(\frac{5}{2}, 0\right) \] 4. Tính vector \( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC} \): - Vector \( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC} \) có tọa độ: \[ \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC} = \left(-\frac{5}{2} - \frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2} - 0\right) = \left(-5, \frac{5\sqrt{3}}{2}\right) \] 5. Tính độ dài của vector \( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC} \): - Độ dài của vector \( \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC} \) là: \[ |\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC}| = \sqrt{(-5)^2 + \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2} \] \[ = \sqrt{25 + \frac{75}{4}} \] \[ = \sqrt{\frac{100}{4} + \frac{75}{4}} \] \[ = \sqrt{\frac{175}{4}} \] \[ = \frac{\sqrt{175}}{2} \] \[ = \frac{5\sqrt{7}}{2} \] 6. Kết luận: - Độ dài \( |\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{HC}| = \frac{5\sqrt{7}}{2} \). - Vậy \( a = 5 \), \( b = 7 \), \( c = 2 \). - Tổng \( a + b + c = 5 + 7 + 2 = 14 \). Do đó, kết quả là \( a + b + c = 14 \). Câu 20: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: Tam giác \(OAB\) vuông cân tại \(O\), do đó \(OA = OB = 4\). Giả sử điểm \(O\) có tọa độ \((0, 0)\). Vì tam giác vuông cân tại \(O\), ta có thể đặt tọa độ của \(A\) là \((4, 0)\) và tọa độ của \(B\) là \((0, 4)\). 2. Tính các vectơ: - Vectơ \(\overrightarrow{OA} = (4 - 0, 0 - 0) = (4, 0)\). - Vectơ \(\overrightarrow{OB} = (0 - 0, 4 - 0) = (0, 4)\). 3. Tính vectơ \(2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}\): - Vectơ \(2\overrightarrow{OA} = 2 \times (4, 0) = (8, 0)\). - Vectơ \(2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = (8, 0) - (0, 4) = (8, -4)\). 4. Tính độ dài của vectơ \(2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}\): Độ dài của vectơ \((8, -4)\) được tính bằng công thức: \[ |(8, -4)| = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \] Vậy, độ dài của vectơ \(2\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}\) là \(4\sqrt{5}\).