Câu $\rm 29$. Câu 29: Cho đa giác đều 2n cạnh $A_1A_2...A_{2n}$ nội tiếp trong một đường tròn. Biết rằng số tam giác có,đỉnh lấy trong 2n điểm $A_1,A_2,...,A_{2n}$ nhiều gấp 5 lần số tam giác vuông có đỉnh lấy trong 2n,điểm $A_1,A_2,...,A_{2n}.$ Tìm n.

Question

Accepted Answer

Câu 29:
Để giải bài toán này, ta cần tìm số tam giác và số tam giác vuông có thể tạo thành từ 2n điểm của đa giác đều nội tiếp trong một đường tròn.

Bước 1: Tính số tam giác có thể tạo thành từ 2n điểm

Số tam giác có thể tạo thành từ 2n điểm là số cách chọn 3 điểm từ 2n điểm, tức là:

$$
\binom{2n}{3} = \frac{2n(2n-1)(2n-2)}{6}
$$

Bước 2: Tính số tam giác vuông có thể tạo thành

Trong một đa giác đều nội tiếp đường tròn, một tam giác vuông được tạo thành khi và chỉ khi một cạnh của tam giác là đường kính của đường tròn. Do đó, để tạo thành một tam giác vuông, ta cần chọn một đường kính và một điểm thứ ba không nằm trên đường kính đó.

Có n đường kính trong đa giác đều 2n cạnh (mỗi đường kính đi qua hai điểm đối diện nhau). Với mỗi đường kính, ta có thể chọn điểm thứ ba từ 2n - 2 điểm còn lại (vì không thể chọn hai điểm đã nằm trên đường kính).

Vậy số tam giác vuông là:

$$
n \times (2n - 2) = 2n(n - 1)
$$

Bước 3: Thiết lập phương trình

Theo đề bài, số tam giác có đỉnh lấy trong 2n điểm nhiều gấp 5 lần số tam giác vuông. Do đó, ta có phương trình:

$$
\binom{2n}{3} = 5 \times 2n(n - 1)
$$

Thay biểu thức của $\binom{2n}{3}$ vào phương trình:

$$
\frac{2n(2n-1)(2n-2)}{6} = 10n(n-1)
$$

Rút gọn phương trình:

$$
2n(2n-1)(2n-2) = 60n(n-1)
$$

Chia cả hai vế cho $2n$ (với $n \neq 0$):

$$
(2n-1)(2n-2) = 30(n-1)
$$

Mở rộng và rút gọn:

$$
4n^2 - 6n + 2 = 30n - 30
$$

$$
4n^2 - 36n + 32 = 0
$$

Chia cả hai vế cho 4:

$$
n^2 - 9n + 8 = 0
$$

Giải phương trình bậc hai:

$$
n = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{9 \pm 7}{2}
$$

$$
n_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad n_2 = \frac{2}{2} = 1
$$

Vì $n$ phải lớn hơn 1 (vì đa giác có ít nhất 4 cạnh), nên $n = 8$.

Vậy giá trị của $n$ là 8.