Câu 10: Đồ thị của các hàm số $y=\sin x$ và $y=\cos x$ cắt nhau tại bao nhiêu điểm có hoành độ thuộc đoạn $\left\lbrack-2\pi;\frac{5\pi}{2}\right\rbrack?$

Question

Accepted Answer

Câu 10:
Để tìm số điểm mà đồ thị của các hàm số $ y = \sin x $ và $ y = \cos x $ cắt nhau, ta cần giải phương trình:

$$
\sin x = \cos x
$$

Chia cả hai vế của phương trình cho $ \cos x $ (với điều kiện $ \cos x \neq 0 $), ta được:

$$
\tan x = 1
$$

Phương trình $ \tan x = 1 $ có nghiệm tổng quát là:

$$
x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

Bây giờ, ta cần tìm các giá trị của $ x $ thuộc đoạn $\left\lbrack -2\pi; \frac{5\pi}{2} \right\rbrack$.

Xét các giá trị của $ k $:

1. Với $ k = -3 $, ta có:
   $$
   x = \frac{\pi}{4} - 3\pi = -\frac{11\pi}{4} \quad (\text{không thuộc đoạn})
   $$

2. Với $ k = -2 $, ta có:
   $$
   x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} \quad (\text{thuộc đoạn})
   $$

3. Với $ k = -1 $, ta có:
   $$
   x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4} \quad (\text{thuộc đoạn})
   $$

4. Với $ k = 0 $, ta có:
   $$
   x = \frac{\pi}{4} \quad (\text{thuộc đoạn})
   $$

5. Với $ k = 1 $, ta có:
   $$
   x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} \quad (\text{thuộc đoạn})
   $$

6. Với $ k = 2 $, ta có:
   $$
   x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \quad (\text{thuộc đoạn})
   $$

7. Với $ k = 3 $, ta có:
   $$
   x = \frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{13\pi}{4} \quad (\text{không thuộc đoạn})
   $$

Vậy, các giá trị của $ x $ thuộc đoạn $\left\lbrack -2\pi; \frac{5\pi}{2} \right\rbrack$ là:

$$
x = -\frac{7\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}
$$

Do đó, đồ thị của các hàm số $ y = \sin x $ và $ y = \cos x $ cắt nhau tại 5 điểm có hoành độ thuộc đoạn $\left\lbrack -2\pi; \frac{5\pi}{2} \right\rbrack$.