Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.

Giả sử hai số chính phương liên tiếp là \( n^2 \) và \( (n+1)^2 \). Tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là: \[ n^2 + (n+1)^2 + n^2(n+1)^2 \] Ta có: \[ n^2 + (n+1)^2 + n^2(n+1)^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2(n^2 + 2n + 1) \] \[ = 2n^2 + 2n + 1 + n^4 + 2n^3 + n^2 \] \[ = n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1 \] Ta thấy rằng \( n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1 \) là một số chính phương lẻ. Thật vậy, ta có: \[ n^4 + 2n^3 + 3n^2 + 2n + 1 = (n^2 + n + 1)^2 \] Vậy tổng của hai số chính phương liên tiếp cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.