Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Cho hàm số $y=x^3-3x+m.$,1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị với $m=0.$,2. Tìm tất cả giá trị thực của m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB (với O là,gốc tọa độ) có diện tích bằng 4.

Question

Accepted Answer

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị với $ m = 0 $.

Cho hàm số $ y = x^3 - 3x $.

Tập xác định:
Hàm số xác định với mọi $ x \in \mathbb{R} $.

Tính đạo hàm:
$$ y&#x27; = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1) $$

Xét dấu đạo hàm:
- $ y&#x27; = 0 $ khi $ x = 1 $ hoặc $ x = -1 $.
- Bảng xét dấu của $ y&#x27; $:

$$
\begin{array}{c|ccc|c}
x & -\infty & -1 & 1 & +\infty \
\hline
y&#x27; & + & 0 & - & 0 & + \
\end{array}
$$

Sự biến thiên:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng $ (-\infty, -1) $ và $ (1, +\infty) $.
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $ (-1, 1) $.

Giá trị cực trị:
- Tại $ x = -1 $, $ y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 2 $. Vậy $ (-1, 2) $ là điểm cực đại.
- Tại $ x = 1 $, $ y(1) = 1^3 - 3(1) = -2 $. Vậy $ (1, -2) $ là điểm cực tiểu.

Đồ thị:
- Đồ thị hàm số có điểm uốn tại $ x = 0 $ vì $ y&#x27;&#x27; = 6x $ và $ y&#x27;&#x27;(0) = 0 $.
- Đồ thị đi qua các điểm: $ (0, 0) $, $ (-1, 2) $, $ (1, -2) $.

2. Tìm giá trị thực của $ m $ để tam giác $ OAB $ có diện tích bằng 4.

Điều kiện để hàm số có 2 điểm cực trị:
- Đạo hàm $ y&#x27; = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1) $ có 2 nghiệm phân biệt $ x = 1 $ và $ x = -1 $.

Tọa độ các điểm cực trị:
- $ A(-1, (-1)^3 - 3(-1) + m = 2 + m) $
- $ B(1, 1^3 - 3(1) + m = -2 + m) $

Diện tích tam giác $ OAB $:
Sử dụng công thức diện tích tam giác với tọa độ:
$$
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
$$
Với $ O(0,0) $, $ A(-1, 2+m) $, $ B(1, -2+m) $:
$$
S = \frac{1}{2} \left| -1(-2+m) + 1(2+m) \right| = \frac{1}{2} \left| 2 - m + 2 + m \right| = \frac{1}{2} \times 4 = 2
$$

Do đó, diện tích tam giác $ OAB $ không thể bằng 4 với bất kỳ giá trị nào của $ m $. Có thể có sai sót trong việc tính toán hoặc điều kiện ban đầu không thỏa mãn. Vui lòng kiểm tra lại điều kiện hoặc yêu cầu bài toán.