giúp mình với a

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách chi tiết. Ví dụ 3: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2}{x+1} \). 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): \[ x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 \] Vậy hàm số xác định với \( x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\} \). 2. Tính đạo hàm: \[ y' = \frac{(2x)(x+1) - x^2 \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2} \] 3. Xét dấu đạo hàm: - \( y' = 0 \) khi \( x = 0 \) hoặc \( x = -2 \). - Xét dấu của \( y' \): - Trên khoảng \((-∞, -2)\), \( y' > 0 \). - Trên khoảng \((-2, -1)\), \( y' < 0 \). - Trên khoảng \((-1, 0)\), \( y' > 0 \). - Trên khoảng \((0, +∞)\), \( y' > 0 \). 4. Bảng biến thiên: | \( x \) | \(-∞\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(+∞\) | |----------|--------|--------|--------|------|--------| | \( y' \) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(+\) | \(+\) | | \( y \) | \(\to -∞\) | \(0\) | \(\to +∞\) | \(0\) | \(\to +∞\) | 5. Đồ thị: - Đồ thị có tiệm cận đứng tại \( x = -1 \). - Đồ thị có tiệm cận ngang tại \( y = x \) khi \( x \to +∞ \) hoặc \( x \to -∞ \). b) Từ đồ thị (C) suy ra cách vẽ đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2}{|x+1|} \). - Đồ thị của hàm số \( y = \frac{x^2}{|x+1|} \) sẽ là sự kết hợp của hai phần: - Phần trên trục hoành khi \( x > -1 \) là đồ thị của \( y = \frac{x^2}{x+1} \). - Phần dưới trục hoành khi \( x < -1 \) là đồ thị của \( y = -\frac{x^2}{x+1} \). Ví dụ 4: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \( y = \frac{2x^2-x+1}{x-1} \). 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): \[ x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \] Vậy hàm số xác định với \( x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} \). 2. Tính đạo hàm: \[ y' = \frac{(4x-1)(x-1) - (2x^2-x+1)}{(x-1)^2} = \frac{4x^2 - 4x - 1x + 1 - 2x^2 + x - 1}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 4x}{(x-1)^2} \] 3. Xét dấu đạo hàm: - \( y' = 0 \) khi \( x = 0 \) hoặc \( x = 2 \). - Xét dấu của \( y' \): - Trên khoảng \((-∞, 0)\), \( y' > 0 \). - Trên khoảng \((0, 1)\), \( y' < 0 \). - Trên khoảng \((1, 2)\), \( y' > 0 \). - Trên khoảng \((2, +∞)\), \( y' < 0 \). 4. Bảng biến thiên: | \( x \) | \(-∞\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(+∞\) | |----------|--------|------|------|------|--------| | \( y' \) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(-\) | | \( y \) | \(\to -∞\) | \(0\) | \(\to +∞\) | \(0\) | \(\to -∞\) | 5. Đồ thị: - Đồ thị có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \). - Đồ thị có tiệm cận ngang tại \( y = 2x - 1 \) khi \( x \to +∞ \) hoặc \( x \to -∞ \). b) Với giá trị nào của \( m \) thì đường thẳng \( y = m - x \) cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. - Phương trình hoành độ giao điểm: \[ \frac{2x^2-x+1}{x-1} = m - x \] \[ 2x^2 - x + 1 = (m - x)(x - 1) \] \[ 2x^2 - x + 1 = mx - m - x^2 + x \] \[ 3x^2 - (m+1)x + (m+1) = 0 \] - Để có hai điểm phân biệt, phương trình bậc hai phải có hai nghiệm phân biệt: \[ \Delta = (m+1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (m+1) > 0 \] \[ (m+1)^2 - 12(m+1) > 0 \] \[ (m+1)(m+1 - 12) > 0 \] \[ (m+1)(m-11) > 0 \] - Bất phương trình này có nghiệm khi \( m < -1 \) hoặc \( m > 11 \). c) Gọi \( A, B \) là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( AB \) khi \( m \) biến thiên. - Gọi \( x_1, x_2 \) là nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x_1 + x_2 = \frac{m+1}{3}, \quad x_1x_2 = \frac{m+1}{3} \] - Trung điểm \( M \) có hoành độ: \[ x_M = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{m+1}{6} \] - Tung độ của \( M \): \[ y_M = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{(m-x_1) + (m-x_2)}{2} = m - \frac{x_1 + x_2}{2} = m - \frac{m+1}{6} \] \[ y_M = \frac{5m - 1}{6} \] - Tập hợp điểm \( M \) là đường thẳng: \[ y = \frac{5}{6}x - \frac{1}{6} \] Vậy tập hợp trung điểm \( M \) là đường thẳng \( y = \frac{5}{6}x - \frac{1}{6} \). Ví dụ 1: a) Biểu thức tính doanh thu và lợi nhuận: Doanh thu: \( B(x) = 220x \) Lợi nhuận: \( L(x) = B(x) - C(x) = 220x - (x^3 - 3x^2 - 20x + 500) = -x^3 + 3x^2 + 240x - 500 \) b) Bảng biến thiên của hàm số \( y = L(x) \) trên đoạn \([1; 18]\): Ta có \( L'(x) = -3x^2 + 6x + 240 \) Giải phương trình \( L'(x) = 0 \): \[ -3x^2 + 6x + 240 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 80 = 0 \] \[ x = 10 \text{ hoặc } x = -8 \] Trên khoảng \([1; 18]\), ta xét dấu của \( L'(x) \): - Khi \( x < 10 \), \( L'(x) > 0 \) (hàm số tăng) - Khi \( x > 10 \), \( L'(x) < 0 \) (hàm số giảm) Do đó, hàm số \( L(x) \) đạt cực đại tại \( x = 10 \). c) Để tìm lợi nhuận tối đa, ta thay \( x = 10 \) vào biểu thức \( L(x) \): \[ L(10) = -(10)^3 + 3(10)^2 + 240(10) - 500 = -1000 + 300 + 2400 - 500 = 1200 \] Như vậy, hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa, và lợi nhuận tối đa đó là 1200 nghìn đồng. Ví dụ 2: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \( x \) để thể tích của hộp không nắp là lớn nhất. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Vì mỗi hình vuông cắt ra có cạnh là \( x \), nên điều kiện là \( 0 < x < 6 \). Nếu \( x = 0 \) hoặc \( x = 6 \), thì không thể tạo thành hộp. Bước 2: Biểu thức thể tích của hộp Khi cắt bốn hình vuông có cạnh \( x \) ra khỏi tấm nhôm, kích thước của đáy hộp sẽ là \( (12 - 2x) \times (12 - 2x) \). Chiều cao của hộp là \( x \). Do đó, thể tích \( V \) của hộp là: \[ V = x \times (12 - 2x) \times (12 - 2x) = x(12 - 2x)^2 \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của thể tích Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số: \[ V(x) = x(12 - 2x)^2 \] Tính đạo hàm của \( V(x) \): \[ V'(x) = (12 - 2x)^2 + x \cdot 2(12 - 2x)(-2) \] \[ = (12 - 2x)^2 - 4x(12 - 2x) \] \[ = (12 - 2x)(12 - 2x - 4x) \] \[ = (12 - 2x)(12 - 6x) \] Đặt \( V'(x) = 0 \): \[ (12 - 2x)(12 - 6x) = 0 \] Giải phương trình: 1. \( 12 - 2x = 0 \Rightarrow x = 6 \) (loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ) 2. \( 12 - 6x = 0 \Rightarrow x = 2 \) Bước 4: Kiểm tra giá trị biên Ta kiểm tra giá trị biên \( x = 0 \) và \( x = 6 \): - \( V(0) = 0 \) - \( V(6) = 0 \) Bước 5: Kết luận Giá trị lớn nhất của thể tích là khi \( x = 2 \). Vậy, giá trị của \( x \) để hộp có thể tích lớn nhất là \( x = 2 \) cm. Thể tích lớn nhất đạt được là: \[ V(2) = 2 \times (12 - 2 \times 2)^2 = 2 \times 8^2 = 128 \, \text{cm}^3 \]