Giải hộ mình câu này với các bạn

Bài 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh rằng \( BE = CF \). - Vì \( K \) nằm trên đường trung trực của đoạn \( BC \), nên \( KB = KC \). - \( K \) cũng nằm trên tia phân giác \( Ax \) của góc \( A \), do đó \( \angle BKA = \angle CKA \). - Xét hai tam giác vuông \( \triangle KEB \) và \( \triangle KFC \): - \( \angle KEB = \angle KFC = 90^\circ \) (do \( KE \perp AB \) và \( KF \perp AC \)). - \( \angle BKE = \angle CKF \) (do \( \angle BKA = \angle CKA \)). - \( KB = KC \) (do \( K \) nằm trên đường trung trực của \( BC \)). Từ ba điều kiện trên, ta có hai tam giác vuông \( \triangle KEB \) và \( \triangle KFC \) bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc (G-C-G). Do đó, \( BE = CF \). b) Nối \( EF \) cắt \( BC \) tại \( M \). Chứng minh rằng \( M \) là trung điểm của \( BC \). - Từ phần a), ta đã có \( BE = CF \). - Xét tam giác \( \triangle BEC \) và \( \triangle CFB \): - \( BE = CF \) (đã chứng minh). - \( \angle BEC = \angle CFB \) (đối đỉnh). - \( BC \) là cạnh chung. Từ ba điều kiện trên, ta có hai tam giác \( \triangle BEC \) và \( \triangle CFB \) bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (C-G-C). Do đó, \( EM = FM \). Vì \( EM = FM \), nên \( M \) là trung điểm của \( BC \). Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán. Bài 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. a) Chứng minh K là trung điểm của AC 1. Xét tam giác \( \Delta BHC \): - \( BH \perp Ay \) và \( BK \perp Az \). - \( Az \) là tia phân giác của \( \angle xAy = 60^\circ \), do đó \( \angle xAz = 30^\circ \). 2. Xét tam giác \( \Delta BKC \): - \( BK \perp Az \) nên \( \angle BKC = 90^\circ \). - \( \angle xAz = 30^\circ \) và \( \angle BKC = 90^\circ \) nên \( \angle BCK = 60^\circ \). 3. Xét tam giác \( \Delta BHC \) và \( \Delta BKC \): - \( \angle BHC = 90^\circ \) và \( \angle BCK = 60^\circ \). - \( \angle HBC = 30^\circ \) (vì tổng các góc trong tam giác bằng \( 180^\circ \)). 4. Chứng minh \( K \) là trung điểm của \( AC \): - Do \( \angle BHC = 90^\circ \) và \( \angle BCK = 60^\circ \), suy ra \( \angle HBC = 30^\circ \). - \( \angle BHC = \angle BCK = 90^\circ \), do đó \( \Delta BHC \) và \( \Delta BKC \) là hai tam giác vuông có cạnh chung \( BC \). - Từ đó, \( K \) là trung điểm của \( AC \) vì \( BK \) là đường trung trực của \( AC \). b) Chứng minh \( \Delta KMC \) là tam giác đều 1. Xét tam giác \( \Delta KMC \): - \( CM \perp Ay \) và \( BK \perp Az \). - \( Az \) là tia phân giác của \( \angle xAy = 60^\circ \), do đó \( \angle xAz = 30^\circ \). 2. Chứng minh \( \Delta KMC \) là tam giác đều: - \( \angle KMC = 60^\circ \) (vì \( CM \perp Ay \) và \( \angle xAy = 60^\circ \)). - \( \angle KCM = 60^\circ \) (vì \( \angle BCK = 60^\circ \) và \( K \) là trung điểm của \( AC \)). - \( \angle MKC = 60^\circ \) (vì tổng các góc trong tam giác bằng \( 180^\circ \)). 3. Kết luận: - Vì cả ba góc của tam giác \( \Delta KMC \) đều bằng \( 60^\circ \), nên \( \Delta KMC \) là tam giác đều. c) Tính các cạnh \( \Delta AKM \) khi \( BK = 2 \, \text{cm} \) 1. Tính độ dài các cạnh: - \( BK = 2 \, \text{cm} \). - Vì \( K \) là trung điểm của \( AC \), nên \( AK = KC \). 2. Tính \( AK \) và \( KC \): - Do \( \Delta KMC \) là tam giác đều và \( BK = 2 \, \text{cm} \), suy ra \( KC = 2 \, \text{cm} \). 3. Tính \( AM \): - \( AM = AK + KC = 2 + 2 = 4 \, \text{cm} \). 4. Kết luận: - Các cạnh của \( \Delta AKM \) là \( AK = 2 \, \text{cm} \), \( KC = 2 \, \text{cm} \), và \( AM = 4 \, \text{cm} \).