giải cho e với e đg cần gấp

Bài 2: a) Ta có: \[ \sqrt[3]{-0,027} = \sqrt[3]{-0,027} = -0,3 \] b) Ta có: \[ \sqrt[3]{\frac{64}{343}} = \sqrt[3]{\left(\frac{4}{7}\right)^3} = \frac{4}{7} \] c) Ta có: \[ \sqrt[3]{729} = \sqrt[3]{9^3} = 9 \] d) Ta có: \[ (-\sqrt[3]{\frac{2024}{2025}})^3 = -\left(\sqrt[3]{\frac{2024}{2025}}\right)^3 = -\frac{2024}{2025} \] e) Ta có: \[ \sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \sqrt[3]{\left(\frac{1}{5}\right)^3} = \frac{1}{5} \] f) Ta có: \[ \sqrt[3]{\frac{1}{216}} = \sqrt[3]{\left(\frac{1}{6}\right)^3} = \frac{1}{6} \] Bài 3: 1) $A=\sqrt{200}-\sqrt{32}+\sqrt{72}$ $=\sqrt{100 \cdot 2}-\sqrt{16 \cdot 2}+\sqrt{36 \cdot 2}$ $=10\sqrt{2}-4\sqrt{2}+6\sqrt{2}$ $=12\sqrt{2}$ 2) $A=(\sqrt{27}-\sqrt{12}+2\sqrt{6}):3\sqrt{3}$ $=(\sqrt{9 \cdot 3}-\sqrt{4 \cdot 3}+2\sqrt{6}):3\sqrt{3}$ $=(3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+2\sqrt{6}):3\sqrt{3}$ $=(\sqrt{3}+2\sqrt{6}):3\sqrt{3}$ $=\frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}+\frac{2\sqrt{6}}{3\sqrt{3}}$ $=\frac{1}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}$ $=\frac{1+2\sqrt{2}}{3}$ 3) $\sqrt{45}+\sqrt{20}-\sqrt{245}$ $=\sqrt{9 \cdot 5}+\sqrt{4 \cdot 5}-\sqrt{49 \cdot 5}$ $=3\sqrt{5}+2\sqrt{5}-7\sqrt{5}$ $=-2\sqrt{5}$ 4) $4\sqrt{3}+\sqrt{27}-\sqrt{45}+\sqrt{5}$ $=4\sqrt{3}+\sqrt{9 \cdot 3}-\sqrt{9 \cdot 5}+\sqrt{5}$ $=4\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3\sqrt{5}+\sqrt{5}$ $=7\sqrt{3}-2\sqrt{5}$ 5) $\sqrt{6+2\sqrt{5}}$ $=\sqrt{(\sqrt{5}+1)^2}$ $=\sqrt{5}+1$ 6) $\sqrt{7-2\sqrt{10}}+\sqrt{2}$ $=\sqrt{( \sqrt{5}-\sqrt{2})^2}+\sqrt{2}$ $=\sqrt{5}-\sqrt{2}+\sqrt{2}$ $=\sqrt{5}$ 7) $\sqrt{3-\sqrt{5}}:\sqrt{2}$ $=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$ $=\sqrt{\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{4}}$ $=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 8) $\sqrt{36-12\sqrt{5}}:\sqrt{6}$ $=\sqrt{\frac{36-12\sqrt{5}}{6}}$ $=\sqrt{\frac{6(6-2\sqrt{5})}{6}}$ $=\sqrt{6-2\sqrt{5}}$ $=\sqrt{(\sqrt{5}-1)^2}$ $=\sqrt{5}-1$ 9) $(\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{\frac{4}{3}}+\sqrt{3}):\sqrt{3}$ $=(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{2}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}):\sqrt{3}$ $=(-\frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}):\sqrt{3}$ $=(-\frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$ $=(-\frac{1}{3}+1)$ $=\frac{2}{3}$ 10) $B=(12\sqrt{50}-8\sqrt{200}+7\sqrt{450}):\sqrt{10}$ $=(12\sqrt{25 \cdot 2}-8\sqrt{100 \cdot 2}+7\sqrt{225 \cdot 2}):\sqrt{10}$ $=(12 \cdot 5\sqrt{2}-8 \cdot 10\sqrt{2}+7 \cdot 15\sqrt{2}):\sqrt{10}$ $=(60\sqrt{2}-80\sqrt{2}+105\sqrt{2}):\sqrt{10}$ $=(85\sqrt{2}):\sqrt{10}$ $=85\sqrt{\frac{2}{10}}$ $=85\sqrt{\frac{1}{5}}$ $=85 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}$ $=85 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ $=17\sqrt{5}$ Bài 4: Để thực hiện các phép tính này, chúng ta sẽ áp dụng một số tính chất của căn bậc hai và hiệu hai bình phương. a) \(\sqrt{55 \cdot 77 \cdot 35}\) Trước tiên, ta nhận thấy rằng \(55 = 5 \cdot 11\), \(77 = 7 \cdot 11\), và \(35 = 5 \cdot 7\). Do đó, ta có: \[ 55 \cdot 77 \cdot 35 = (5 \cdot 11) \cdot (7 \cdot 11) \cdot (5 \cdot 7) = 5^2 \cdot 7^2 \cdot 11^2 \] Khi đó, căn bậc hai của biểu thức trên là: \[ \sqrt{5^2 \cdot 7^2 \cdot 11^2} = 5 \cdot 7 \cdot 11 = 385 \] b) \(\sqrt{26^2 - 24^2}\) Sử dụng công thức hiệu hai bình phương: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\), ta có: \[ 26^2 - 24^2 = (26 - 24)(26 + 24) = 2 \cdot 50 = 100 \] Do đó: \[ \sqrt{26^2 - 24^2} = \sqrt{100} = 10 \] c) \(\sqrt{85^2 - 84^2}\) Tương tự, áp dụng công thức hiệu hai bình phương: \[ 85^2 - 84^2 = (85 - 84)(85 + 84) = 1 \cdot 169 = 169 \] Do đó: \[ \sqrt{85^2 - 84^2} = \sqrt{169} = 13 \] Kết luận: a) \(\sqrt{55 \cdot 77 \cdot 35} = 385\) b) \(\sqrt{26^2 - 24^2} = 10\) c) \(\sqrt{85^2 - 84^2} = 13\) Bài 5: Để tính giá trị của các biểu thức đã cho, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) \( A = (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \cdot \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} \) Ta nhận thấy rằng \( 5 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 \). Do đó: \[ A = (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{2}) \] Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \[ A = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1 \] Vậy giá trị của \( A \) là 1. b) \( C = \frac{5+\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{2}} \) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu là \( \sqrt{10} - \sqrt{2} \): \[ C = \frac{(5+\sqrt{5})(\sqrt{10}-\sqrt{2})}{(\sqrt{10}+\sqrt{2})(\sqrt{10}-\sqrt{2})} \] Mẫu số: \[ (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2 = 10 - 2 = 8 \] Tử số: \[ (5+\sqrt{5})(\sqrt{10}-\sqrt{2}) = 5\sqrt{10} - 5\sqrt{2} + \sqrt{50} - \sqrt{10} \] \[ = 5\sqrt{10} - 5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - \sqrt{10} = 4\sqrt{10} \] Do đó: \[ C = \frac{4\sqrt{10}}{8} = \frac{\sqrt{10}}{2} \] Vậy giá trị của \( C \) là \( \frac{\sqrt{10}}{2} \). c) \( C = \sqrt{13 + 30\sqrt{2+\sqrt{9+4\sqrt{2}}}} \) Trước tiên, tính \( \sqrt{9+4\sqrt{2}} \): Nhận thấy \( 9 + 4\sqrt{2} = (\sqrt{8} + 1)^2 \), do đó: \[ \sqrt{9+4\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{8} + 1)^2} = \sqrt{8} + 1 = 2\sqrt{2} + 1 \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ C = \sqrt{13 + 30\sqrt{2 + 2\sqrt{2} + 1}} \] \[ = \sqrt{13 + 30\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}} \] Nhận thấy \( 3 + 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} + 1)^2 \), do đó: \[ C = \sqrt{13 + 30(\sqrt{2} + 1)} \] \[ = \sqrt{13 + 30\sqrt{2} + 30} \] \[ = \sqrt{43 + 30\sqrt{2}} \] Do đó, giá trị của \( C \) không thể đơn giản hơn nữa mà không có thêm thông tin. d) \( C = \sqrt{(9+2\sqrt{14})(9-2\sqrt{14})} \) Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \[ C = \sqrt{(9)^2 - (2\sqrt{14})^2} = \sqrt{81 - 56} = \sqrt{25} = 5 \] Vậy giá trị của \( C \) là 5. e) \( \sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}} \) Đặt \( a = \sqrt{2+\sqrt{3}} \) và \( b = \sqrt{2-\sqrt{3}} \). Ta có: \[ a^2 = 2 + \sqrt{3}, \quad b^2 = 2 - \sqrt{3} \] \[ a^2 - b^2 = (2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3} \] Sử dụng hằng đẳng thức: \[ (a-b)(a+b) = 2\sqrt{3} \] Với \( a+b = \sqrt{4} = 2 \), ta có: \[ (a-b) \cdot 2 = 2\sqrt{3} \] \[ a-b = \sqrt{3} \] Vậy giá trị của biểu thức là \( \sqrt{3} \). f) \( \sqrt{3+\sqrt{5}} - \sqrt{3-\sqrt{5}} - \sqrt{2} \) Đặt \( a = \sqrt{3+\sqrt{5}} \) và \( b = \sqrt{3-\sqrt{5}} \). Ta có: \[ a^2 = 3 + \sqrt{5}, \quad b^2 = 3 - \sqrt{5} \] \[ a^2 - b^2 = (3 + \sqrt{5}) - (3 - \sqrt{5}) = 2\sqrt{5} \] Sử dụng hằng đẳng thức: \[ (a-b)(a+b) = 2\sqrt{5} \] Với \( a+b = \sqrt{6} \), ta có: \[ (a-b) \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{5} \] \[ a-b = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6}} \] Biểu thức cần tính là: \[ a-b-\sqrt{2} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6}} - \sqrt{2} \] Biểu thức này không thể đơn giản hơn nữa mà không có thêm thông tin. Vậy giá trị của biểu thức không thể đơn giản hơn nữa. Bài 6: a) Ta có: $2\sqrt{5}=\sqrt{20};3\sqrt{2}=\sqrt{18};5=\sqrt{25};\sqrt{23}$ Vì $18< 20< 23< 25$ nên $\sqrt{18}< \sqrt{20}< \sqrt{23}< \sqrt{25}$ Do đó $3\sqrt{2}< 2\sqrt{5}< \sqrt{23}< 5.$ b) Ta có: $5\sqrt{2}=\sqrt{50};2\sqrt{13}=\sqrt{52};4\sqrt{3}=\sqrt{48};\sqrt{47}$ Vì $47< 48< 50< 52$ nên $\sqrt{47}< \sqrt{48}< \sqrt{50}< \sqrt{52}$ Do đó $\sqrt{47}< 4\sqrt{3}< 5\sqrt{2}< 2\sqrt{13}.$