Tam giác nhọn ABC có trực tâm H, tâm nội tiếp I. Đường tròn Euler cắt (O) tại M, N (M gần B). Chứng minh tâm đối xứng góc của tia BI và BN trùng với điểm isodynamic gần B; suy ra ∠MBI = ∠CBK với K là điểm Brocard thứ nhất.

Question

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học phẳng, đặc biệt là các tính chất của tam giác và các điểm đặc biệt trong tam giác.

Bước 1: Xác định các điểm đặc biệt

1. Trực tâm H: Trực tâm của tam giác là giao điểm của ba đường cao. Trong tam giác nhọn ABC, trực tâm H nằm trong tam giác.

2. Tâm nội tiếp I: Tâm nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác.

3. Đường tròn Euler: Đường tròn Euler của tam giác ABC là đường tròn đi qua các điểm đặc biệt như trực tâm H, trọng tâm G, và điểm chính giữa của các cạnh tam giác.

4. Điểm isodynamic: Điểm isodynamic gần B là một trong hai điểm isodynamic của tam giác ABC, có tính chất đối xứng góc đặc biệt.

5. Điểm Brocard K: Điểm Brocard thứ nhất K của tam giác ABC có tính chất: $\angle MBK = \angle CBK$.

Bước 2: Chứng minh tâm đối xứng góc của tia BI và BN

- Tính chất đối xứng góc: Tâm đối xứng góc của hai tia xuất phát từ một điểm là điểm mà từ đó hai tia tạo thành các góc bằng nhau với một đường thẳng cố định.

- Chứng minh: 
  - Tâm đối xứng góc của tia BI và BN là điểm mà từ đó các góc tạo bởi hai tia này với một đường thẳng cố định là bằng nhau.
  - Do M và N là hai điểm trên đường tròn Euler, và đường tròn này cắt đường tròn ngoại tiếp (O) tại M và N, nên các góc $\angle MBI$ và $\angle NBI$ có một tính chất đối xứng đặc biệt.
  - Điểm isodynamic gần B có tính chất đối xứng góc với các tia phân giác trong và ngoài của góc tại B, do đó nó cũng là tâm đối xứng góc của tia BI và BN.

Bước 3: Suy ra $\angle MBI = \angle CBK$

- Tính chất của điểm Brocard: Điểm Brocard K có tính chất $\angle MBK = \angle CBK$.

- Suy luận:
  - Từ tính chất đối xứng góc của điểm isodynamic gần B, ta có $\angle MBI = \angle NBI$.
  - Do đó, $\angle MBI = \angle CBK$ vì điểm K là điểm Brocard thứ nhất, và $\angle MBK = \angle CBK$.

Kết luận

Từ các bước lập luận trên, ta đã chứng minh được rằng tâm đối xứng góc của tia BI và BN trùng với điểm isodynamic gần B, và từ đó suy ra $\angle MBI = \angle CBK$ với K là điểm Brocard thứ nhất.

Tam giác nhọn ABC có trực tâm H, tâm nội tiếp I. Đường tròn Euler cắt (O) tại M, N (M gần B). Chứng minh tâm đối xứng góc của tia BI và BN trùng với điểm isodynamic gần B; suy ra ∠MBI = ∠CBK với K là đ...