Câu $\rm 38$.

Câu 38: Đặt \( y = x + \frac{1}{x} \). Ta có: \[ y^2 = \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \] Suy ra: \[ x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2 \] Thay vào phương trình ban đầu, ta được: \[ y^2 - 2 - 2m(y) + 1 = 0 \] \[ y^2 - 2my - 1 = 0 \] Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi biệt thức \( \Delta \geq 0 \): \[ \Delta = (2m)^2 + 4 = 4m^2 + 4 \geq 0 \] Do \( 4m^2 + 4 > 0 \) với mọi \( m \), nên phương trình \( y^2 - 2my - 1 = 0 \) luôn có nghiệm. Tiếp theo, ta cần kiểm tra điều kiện \( y = x + \frac{1}{x} \) có thể nhận những giá trị nào. Ta có: \[ y = x + \frac{1}{x} \geq 2 \quad \text{(theo bất đẳng thức AM-GM)} \] hoặc \[ y = x + \frac{1}{x} \leq -2 \quad \text{(khi \( x < 0 \))} \] Vậy \( y \geq 2 \) hoặc \( y \leq -2 \). Phương trình \( y^2 - 2my - 1 = 0 \) có nghiệm \( y \) thỏa mãn \( y \geq 2 \) hoặc \( y \leq -2 \). Ta xét hai trường hợp: 1. \( y \geq 2 \): \[ y = \frac{2m + \sqrt{4m^2 + 4}}{2} \geq 2 \] \[ 2m + \sqrt{4m^2 + 4} \geq 4 \] \[ \sqrt{4m^2 + 4} \geq 4 - 2m \] \[ 4m^2 + 4 \geq (4 - 2m)^2 \] \[ 4m^2 + 4 \geq 16 - 16m + 4m^2 \] \[ 4 \geq 16 - 16m \] \[ 16m \geq 12 \] \[ m \geq \frac{3}{4} \] 2. \( y \leq -2 \): \[ y = \frac{2m - \sqrt{4m^2 + 4}}{2} \leq -2 \] \[ 2m - \sqrt{4m^2 + 4} \leq -4 \] \[ \sqrt{4m^2 + 4} \geq 2m + 4 \] \[ 4m^2 + 4 \geq (2m + 4)^2 \] \[ 4m^2 + 4 \geq 4m^2 + 16m + 16 \] \[ 4 \geq 16m + 16 \] \[ -12 \geq 16m \] \[ m \leq -\frac{3}{4} \] Vậy phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi \( m \geq \frac{3}{4} \) hoặc \( m \leq -\frac{3}{4} \). Đáp án cuối cùng: \[ m \geq \frac{3}{4} \text{ hoặc } m \leq -\frac{3}{4} \]