Câu $\rm 4$.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Tính sin của góc giữa \( SB \) và mặt phẳng \( (SAC) \) 1. Xác định mặt phẳng \( (SAC) \): - Mặt phẳng \( (SAC) \) chứa các điểm \( S, A, C \). 2. Xác định đường thẳng vuông góc từ \( SB \) đến mặt phẳng \( (SAC) \): - Vì \( SA = SB = SC = SD = 2a \), nên \( S \) là đỉnh của hình chóp đều với đáy là hình chữ nhật \( ABCD \). - Để tìm góc giữa \( SB \) và mặt phẳng \( (SAC) \), ta cần tìm hình chiếu vuông góc của \( B \) lên mặt phẳng \( (SAC) \). 3. Tìm hình chiếu vuông góc của \( B \) lên \( (SAC) \): - Do \( ABCD \) là hình chữ nhật, \( AC \) là đường chéo của hình chữ nhật, nên \( AC = \sqrt{(AB)^2 + (BC)^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \). - Hình chiếu vuông góc của \( B \) lên \( AC \) là điểm \( K \). 4. Tính góc giữa \( SB \) và mặt phẳng \( (SAC) \): - Góc giữa \( SB \) và mặt phẳng \( (SAC) \) chính là góc giữa \( SB \) và đường thẳng \( SK \) (vì \( SK \) là hình chiếu của \( SB \) lên mặt phẳng \( (SAC) \)). - Do \( S \) là đỉnh của hình chóp đều, \( SK \) là đường cao từ \( S \) xuống mặt phẳng đáy, nên \( SK \) vuông góc với mặt phẳng đáy \( (ABCD) \). 5. Tính \( \sin \) của góc \( \angle (SB, (SAC)) \): - Ta có \( \sin \angle (SB, (SAC)) = \frac{SK}{SB} \). - Vì \( SK \) là đường cao từ \( S \) xuống mặt phẳng đáy, và \( SB = 2a \), nên \( \sin \angle (SB, (SAC)) = \frac{SK}{2a} \). b) Tính độ dài đoạn \( HK \) theo \( a \) 1. Xác định vị trí của \( K \): - \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( B \) lên \( AC \). - Tọa độ của \( B \) là \( (a\sqrt{3}, 0, 0) \) và \( C \) là \( (0, a, 0) \). - Phương trình đường thẳng \( AC \) có dạng: \( \frac{x}{a\sqrt{3}} = \frac{y}{a} = \frac{z}{0} \). 2. Tìm tọa độ của \( K \): - \( K \) nằm trên \( AC \), nên có dạng \( K(x, y, 0) \). - Do \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( B \) lên \( AC \), ta có: \[ \frac{x}{a\sqrt{3}} = \frac{y}{a} = \frac{z}{0} \] - Giải hệ phương trình để tìm tọa độ của \( K \). 3. Tính độ dài \( HK \): - \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( K \) lên \( SA \). - Tính độ dài \( HK \) bằng cách sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( SHK \). Với các bước trên, ta có thể tính toán cụ thể để tìm ra kết quả cho từng phần của bài toán.