Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Trên đường thẳng AB lấy điểm M sao cho A nằm giữa M và B. Từ M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) và tiếp tuyến MT với đường tròn (O') (T là tiếp điểm). Chứng minh MC.MD = MT².

Question

Cho hai đường tròn (O) và (O&#x27;) cắt nhau tại hai điểm A và B. Trên đường thẳng AB lấy điểm M sao cho A nằm giữa M và B. Từ M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) và tiếp tuyến MT với đường tròn (O&#x27;) (T là tiếp điểm). Chứng minh MC.MD = MT².

Accepted Answer

Để chứng minh $ MC \cdot MD = MT^2 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xét tam giác và các đường tròn:
   - Gọi $ M $ là điểm nằm trên đường thẳng $ AB $ sao cho $ A $ nằm giữa $ M $ và $ B $.
   - $ MCD $ là cát tuyến của đường tròn $(O)$, nghĩa là $ C $ và $ D $ là hai điểm cắt của cát tuyến với đường tròn $(O)$.
   - $ MT $ là tiếp tuyến của đường tròn $(O&#x27;)$ tại điểm $ T $.

2. Sử dụng tính chất của cát tuyến và tiếp tuyến:
   - Theo định lý về cát tuyến và tiếp tuyến, ta có: 
     $$
     MC \cdot MD = MA^2 - MB^2
     $$
   - Theo định lý về tiếp tuyến, ta có:
     $$
     MT^2 = MA^2 - MB^2
     $$

3. So sánh hai biểu thức:
   - Từ hai biểu thức trên, ta thấy rằng:
     $$
     MC \cdot MD = MT^2
     $$

4. Kết luận:
   - Do đó, ta đã chứng minh được rằng $ MC \cdot MD = MT^2 $.

Vậy, với các bước lập luận trên, ta đã chứng minh được điều cần chứng minh.

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Trên đường thẳng AB lấy điểm M sao cho A nằm giữa M và B. Từ M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) và tiếp tuyến MT với đường tròn (O') (T l...