Câu $\rm 11$.

Câu 11: Để giải bài toán này, chúng ta cần tính xác suất để học sinh A làm đúng k câu trong tổng số 50 câu. Vì mỗi câu có 4 phương án trả lời và chỉ có 1 phương án đúng, nên xác suất để làm đúng một câu là $\frac{1}{4}$ và xác suất để làm sai một câu là $\frac{3}{4}$. Xác suất để học sinh A làm đúng k câu và sai (50 - k) câu là: \[ P(k) = C_{50}^{k} \left(\frac{1}{4}\right)^k \left(\frac{3}{4}\right)^{50-k} \] Trong đó, $C_{50}^{k}$ là tổ hợp chập k của 50, tức là số cách chọn k câu đúng từ 50 câu. Để tìm giá trị lớn nhất của k, chúng ta cần so sánh $P(k)$ và $P(k+1)$ và tìm k sao cho $P(k+1) > P(k)$. Ta có: \[ \frac{P(k+1)}{P(k)} = \frac{C_{50}^{k+1} \left(\frac{1}{4}\right)^{k+1} \left(\frac{3}{4}\right)^{49-k}}{C_{50}^{k} \left(\frac{1}{4}\right)^k \left(\frac{3}{4}\right)^{50-k}} \] \[ = \frac{(50-k)}{(k+1)} \cdot \frac{1}{3} \] Để $P(k+1) > P(k)$, ta cần: \[ \frac{(50-k)}{(k+1)} \cdot \frac{1}{3} > 1 \] \[ 50 - k > 3(k + 1) \] \[ 50 - k > 3k + 3 \] \[ 47 > 4k \] \[ k < \frac{47}{4} \] \[ k < 11.75 \] Vì k phải là số nguyên, nên giá trị lớn nhất của k là 11. Do đó, giá trị lớn nhất của k là 11.