Câu $\rm 34$.

Câu 34: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tổ hợp và các công thức liên quan đến hệ số nhị phân. Trước tiên, ta cần kiểm tra điều kiện xác định của các tổ hợp: \[ C^k_n = 0 \text{ nếu } k > n \] Do đó, các tổ hợp \( C^{n-2}_n \), \( C^{n-18}_n \) và \( C^{18}_n \) đều có nghĩa khi \( n \geq 18 \). Bây giờ, ta sẽ sử dụng các tính chất của tổ hợp để giải phương trình đã cho: \[ C^2_n C^{n-2}_n + C^{18}_n C^{n-18}_n = 2 C^2_n C^{n-18}_n \] Ta biết rằng: \[ C^k_n = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Áp dụng vào phương trình: \[ \frac{n!}{2!(n-2)!} \cdot \frac{n!}{(n-2)!2!} + \frac{n!}{18!(n-18)!} \cdot \frac{n!}{(n-18)!18!} = 2 \cdot \frac{n!}{2!(n-2)!} \cdot \frac{n!}{(n-18)!18!} \] Rút gọn các phân số: \[ \frac{n!}{2!(n-2)!} \cdot \frac{n!}{(n-2)!2!} = \frac{n!^2}{4!(n-2)!^2} \] \[ \frac{n!}{18!(n-18)!} \cdot \frac{n!}{(n-18)!18!} = \frac{n!^2}{(18!)^2(n-18)!^2} \] \[ 2 \cdot \frac{n!}{2!(n-2)!} \cdot \frac{n!}{(n-18)!18!} = 2 \cdot \frac{n!^2}{2!(n-2)!(n-18)!18!} \] Thay vào phương trình: \[ \frac{n!^2}{4!(n-2)!^2} + \frac{n!^2}{(18!)^2(n-18)!^2} = 2 \cdot \frac{n!^2}{2!(n-2)!(n-18)!18!} \] Chia cả hai vế cho \( n!^2 \): \[ \frac{1}{4!(n-2)!^2} + \frac{1}{(18!)^2(n-18)!^2} = 2 \cdot \frac{1}{2!(n-2)!(n-18)!18!} \] Nhận thấy rằng phương trình trên chỉ đúng khi \( n = 18 \). Do đó, ta có: \[ n = 18 \] Bây giờ, ta sẽ tính \( T \): \[ T = C^1_{18} + 2C^2_{18} + \ldots + 18C^{18}_{18} \] Sử dụng tính chất của tổ hợp: \[ kC^k_n = nC^{k-1}_{n-1} \] Do đó: \[ T = 18(C^0_{17} + C^1_{17} + \ldots + C^{17}_{17}) \] Tổng các hệ số nhị phân của \( (1+1)^{17} \) là: \[ C^0_{17} + C^1_{17} + \ldots + C^{17}_{17} = 2^{17} \] Vậy: \[ T = 18 \cdot 2^{17} \] Kết quả cuối cùng: \[ T = 18 \cdot 2^{17} \]