Câu $\rm 39$.

Câu 39: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số kiến thức về tam giác và các công thức lượng giác. Bước 1: Điều kiện của tam giác Vì các cạnh \(a\), \(b\), \(c\) lập thành một cấp số cộng, nên ta có: \[ b = \frac{a + c}{2} \] Bước 2: Công thức lượng giác Ta có công thức: \[ \tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} \] \[ \tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}} \] trong đó \(s = \frac{a+b+c}{2}\) là nửa chu vi của tam giác. Bước 3: Tính \(\tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2}\) Ta cần tính: \[ \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} \cdot \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}} \] \[ = \frac{(s-b)\sqrt{(s-c)(s-a)}}{s\sqrt{(s-a)(s-c)}} = \frac{s-b}{s} \] Bước 4: Tính \(s-b\) và \(s\) Với \(b = \frac{a+c}{2}\), ta có: \[ s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{a + \frac{a+c}{2} + c}{2} = \frac{2a + a + c + 2c}{4} = \frac{2a + 2c}{4} = \frac{a+c}{2} \] Do đó: \[ s - b = \frac{a+c}{2} - \frac{a+c}{2} = 0 \] Bước 5: Kết luận Vì \(s-b = 0\), nên: \[ \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = \frac{0}{s} = 0 \] Do đó, \(\frac{x}{y} = 0\) với \(x = 0\) và \(y = 1\) (vì \(x\) và \(y\) phải là các số nguyên tố cùng nhau). Vậy giá trị \(2x + y = 2 \times 0 + 1 = 1\). Kết luận: Giá trị \(2x + y\) là 1.