Câu $\rm 40$.

Câu 40: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học không gian và tính chất của trọng tâm tam giác. 1. Xác định các điểm trung điểm và trọng tâm: - Điểm \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \), do đó \( \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB} \). - Điểm \( N \) là trung điểm của đoạn thẳng \( CD \), do đó \( \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{ND} \). - Điểm \( G \) là trọng tâm của tam giác \( BCD \), do đó \( \overrightarrow{BG} + \overrightarrow{CG} + \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{0} \) và \( \overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) \). 2. Xác định vị trí của điểm \( I \): - Điểm \( I \) là giao điểm của hai đường thẳng \( MN \) và \( AG \). - Ta có thể biểu diễn \( \overrightarrow{I} \) theo hai cách: - Theo đường thẳng \( MN \): \( \overrightarrow{I} = \overrightarrow{M} + t(\overrightarrow{N} - \overrightarrow{M}) \). - Theo đường thẳng \( AG \): \( \overrightarrow{I} = \overrightarrow{A} + s(\overrightarrow{G} - \overrightarrow{A}) \). 3. Thiết lập phương trình: - Từ hai biểu thức trên, ta có: \[ \overrightarrow{M} + t(\overrightarrow{N} - \overrightarrow{M}) = \overrightarrow{A} + s(\overrightarrow{G} - \overrightarrow{A}) \] - Thay các giá trị của \( \overrightarrow{M} \), \( \overrightarrow{N} \), và \( \overrightarrow{G} \) vào phương trình trên. 4. Tính toán tỉ số \(\frac{IA}{IG}\): - Từ phương trình trên, ta có thể giải để tìm \( s \) và \( t \). - Tỉ số \(\frac{IA}{IG}\) chính là \(\frac{s}{1-s}\) vì \( \overrightarrow{I} = \overrightarrow{A} + s(\overrightarrow{G} - \overrightarrow{A}) \). 5. Kết quả: - Sau khi giải phương trình, ta tìm được \( s = \frac{1}{4} \). - Do đó, \(\frac{IA}{IG} = \frac{s}{1-s} = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}\). Vậy, tỉ số \(\frac{IA}{IG} = \frac{1}{3}\).