cho tam giác ABC, có trung tuyến BM. trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD=MB. chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. 1. Xét tam giác \(ABC\) với trung tuyến \(BM\): Trung tuyến \(BM\) là đoạn thẳng nối từ đỉnh \(B\) đến trung điểm \(M\) của cạnh \(AC\). Do đó, ta có: \[ AM = MC \] 2. Xét điểm \(D\) trên tia đối của tia \(MB\) sao cho \(MD = MB\): Theo giả thiết, \(MD = MB\). Do đó, \(D\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(M\). 3. Chứng minh \(ABCD\) là hình bình hành: - Chứng minh \(AD = BC\): Vì \(M\) là trung điểm của cả \(AD\) và \(BC\) (do \(MD = MB\) và \(AM = MC\)), nên: \[ AD = 2 \times AM \quad \text{và} \quad BC = 2 \times MC \] Mà \(AM = MC\), do đó: \[ AD = BC \] - Chứng minh \(AB \parallel DC\): Vì \(M\) là trung điểm của cả \(AB\) và \(DC\) (do \(MD = MB\) và \(AM = MC\)), nên: \[ AB \parallel DC \] - Chứng minh \(AB = DC\): Tương tự như trên, vì \(M\) là trung điểm của cả \(AB\) và \(DC\), nên: \[ AB = DC \] - Chứng minh \(AD \parallel BC\): Từ việc \(AD = BC\) và \(M\) là trung điểm của cả hai đoạn thẳng này, ta có: \[ AD \parallel BC \] 4. Kết luận: Từ các chứng minh trên, ta thấy rằng tứ giác \(ABCD\) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó \(ABCD\) là hình bình hành.