Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình $2x^2-xy-y^2-8=0$.

Ta có: \(2x^2 - xy - y^2 - 8 = 0\) \(\Leftrightarrow 2x^2 - xy - y^2 = 8\) \(\Leftrightarrow 4x^2 - 2xy - 2y^2 = 16\) \(\Leftrightarrow 4x^2 - 2xy - 2y^2 + y^2 = 16 + y^2\) \(\Leftrightarrow (2x - y)^2 = 16 + y^2\) Do đó, ta có: \((2x - y)^2 - y^2 = 16\) \(\Leftrightarrow (2x - y - y)(2x - y + y) = 16\) \(\Leftrightarrow (2x - 2y)(2x) = 16\) \(\Leftrightarrow 4x(x - y) = 16\) \(\Leftrightarrow x(x - y) = 4\) Bây giờ, ta sẽ xét các trường hợp để tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: 1. \(x = 1\): \(1(1 - y) = 4\) \(1 - y = 4\) \(y = -3\) (không thỏa mãn điều kiện \(y\) là số tự nhiên) 2. \(x = 2\): \(2(2 - y) = 4\) \(2 - y = 2\) \(y = 0\) (thỏa mãn điều kiện \(y\) là số tự nhiên) 3. \(x = 3\): \(3(3 - y) = 4\) \(3 - y = \frac{4}{3}\) (không thỏa mãn điều kiện \(y\) là số tự nhiên) 4. \(x = 4\): \(4(4 - y) = 4\) \(4 - y = 1\) \(y = 3\) (thỏa mãn điều kiện \(y\) là số tự nhiên) 5. \(x = 5\): \(5(5 - y) = 4\) \(5 - y = \frac{4}{5}\) (không thỏa mãn điều kiện \(y\) là số tự nhiên) 6. \(x = 6\): \(6(6 - y) = 4\) \(6 - y = \frac{2}{3}\) (không thỏa mãn điều kiện \(y\) là số tự nhiên) 7. \(x = 7\): \(7(7 - y) = 4\) \(7 - y = \frac{4}{7}\) (không thỏa mãn điều kiện \(y\) là số tự nhiên) 8. \(x = 8\): \(8(8 - y) = 4\) \(8 - y = \frac{1}{2}\) (không thỏa mãn điều kiện \(y\) là số tự nhiên) 9. \(x = 9\): \(9(9 - y) = 4\) \(9 - y = \frac{4}{9}\) (không thỏa mãn điều kiện \(y\) là số tự nhiên) 10. \(x = 10\): \(10(10 - y) = 4\) \(10 - y = \frac{2}{5}\) (không thỏa mãn điều kiện \(y\) là số tự nhiên) Vậy, các nghiệm tự nhiên của phương trình là: \((x, y) = (2, 0)\) hoặc \((x, y) = (4, 3)\)