Câu $\rm 2$.

Câu 2: Để tìm $\cos \alpha$, ta cần xác định góc giữa đường thẳng $SD$ và đường thẳng $BC$. Đầu tiên, ta sẽ xác định tọa độ các điểm trong hệ tọa độ không gian để dễ dàng tính toán. 1. Đặt hệ tọa độ: - Đặt điểm $A(0, 0, 0)$. - Vì $AB = 2a$ và $AD = a$, ta có thể đặt $B(2a, 0, 0)$ và $D(0, a, 0)$. - Do $DC = a$, điểm $C$ có tọa độ $C(0, 2a, 0)$. - Điểm $S$ có tọa độ $S(0, 0, \frac{2a\sqrt{3}}{3})$ vì $SA = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$ và $SA \bot AB$, $SA \bot AD$. 2. Tính vector $\overrightarrow{SD}$ và $\overrightarrow{BC}$: - Vector $\overrightarrow{SD} = (0 - 0, a - 0, 0 - \frac{2a\sqrt{3}}{3}) = (0, a, -\frac{2a\sqrt{3}}{3})$. - Vector $\overrightarrow{BC} = (0 - 2a, 2a - 0, 0 - 0) = (-2a, 2a, 0)$. 3. Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{SD}$ và $\overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{SD} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \cdot (-2a) + a \cdot 2a + \left(-\frac{2a\sqrt{3}}{3}\right) \cdot 0 = 0 + 2a^2 + 0 = 2a^2 \] 4. Tính độ dài của các vector: - Độ dài của $\overrightarrow{SD}$: \[ |\overrightarrow{SD}| = \sqrt{0^2 + a^2 + \left(-\frac{2a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{4a^2 \cdot 3}{9}} = \sqrt{a^2 + \frac{4a^2}{3}} = \sqrt{\frac{7a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \] - Độ dài của $\overrightarrow{BC}$: \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-2a)^2 + (2a)^2 + 0^2} = \sqrt{4a^2 + 4a^2} = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2} \] 5. Tính $\cos \alpha$: \[ \cos \alpha = \frac{\overrightarrow{SD} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{SD}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} = \frac{2a^2}{\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{3}} \cdot 2a\sqrt{2}} = \frac{2a^2}{2a^2 \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{14}} \] Vậy, $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{14}}$.