$\int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{1+\tan^3 x}$ giải

Để tính tích phân $\int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{1+\tan^3 x}$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến số và tính chất đối xứng của tích phân. Bước 1: Đặt $u = \frac{\pi}{2} - x$. Khi đó, $du = -dx$ và giới hạn tích phân thay đổi từ $x = 0$ đến $x = \frac{\pi}{2}$ thành $u = \frac{\pi}{2}$ đến $u = 0$. Bước 2: Biến đổi tích phân: \[ \int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{1+\tan^3 x} = \int_{\pi/2}^{0} \frac{-du}{1+\tan^3 (\frac{\pi}{2} - u)} \] Do $\tan(\frac{\pi}{2} - u) = \cot u$, nên: \[ = \int_{0}^{\pi/2} \frac{du}{1+\cot^3 u} \] Bước 3: Kết hợp hai tích phân: \[ I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{1+\tan^3 x} = \int_{0}^{\pi/2} \frac{du}{1+\cot^3 u} \] Cộng hai tích phân này lại: \[ 2I = \int_{0}^{\pi/2} \left( \frac{1}{1+\tan^3 x} + \frac{1}{1+\cot^3 x} \right) dx \] Bước 4: Đơn giản hóa biểu thức trong dấu ngoặc: \[ \frac{1}{1+\tan^3 x} + \frac{1}{1+\cot^3 x} = \frac{1}{1+\tan^3 x} + \frac{\tan^3 x}{\tan^3 x + 1} = \frac{1 + \tan^3 x}{1 + \tan^3 x} = 1 \] Bước 5: Tính tích phân: \[ 2I = \int_{0}^{\pi/2} 1 \, dx = \frac{\pi}{2} \] Suy ra: \[ I = \frac{\pi}{4} \] Đáp số: $\boxed{\frac{\pi}{4}}$