Câu $\rm 1$.

Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện để đường thẳng \(d\) cắt parabol \((P)\) tại hai điểm phân biệt. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d: y = mx + 4\) và parabol \((P): y = x^2 - x + 1\) là: \[ x^2 - x + 1 = mx + 4. \] Rút gọn phương trình, ta có: \[ x^2 - (m+1)x + (1-4) = 0 \] \[ x^2 - (m+1)x - 3 = 0. \] Để đường thẳng \(d\) cắt parabol \((P)\) tại hai điểm phân biệt, phương trình trên phải có hai nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi: \[ \Delta = (m+1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) > 0. \] Tính \(\Delta\): \[ \Delta = (m+1)^2 + 12 = m^2 + 2m + 1 + 12 = m^2 + 2m + 13. \] Điều kiện để có hai nghiệm phân biệt là: \[ m^2 + 2m + 13 > 0. \] Bất phương trình này luôn đúng với mọi \(m\) vì \(m^2 + 2m + 13\) là một tam thức bậc hai có \(\Delta' = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 4 - 52 = -48 < 0\), do đó không có nghiệm thực và luôn dương. Bước 2: Tìm \(m\) để \(S_{\Delta OMB} = 3S_{\Delta OMA}\). Gọi \(A(x_1, y_1)\) và \(B(x_2, y_2)\) là hai giao điểm của \(d\) và \((P)\). Khi đó: \[ y_1 = mx_1 + 4, \quad y_2 = mx_2 + 4. \] Diện tích tam giác \(OMA\) là: \[ S_{\Delta OMA} = \frac{1}{2} \left| 0(x_1 - 0) + x_1(4 - 0) + 0(y_1 - 4) \right| = \frac{1}{2} |4x_1| = 2|x_1|. \] Diện tích tam giác \(OMB\) là: \[ S_{\Delta OMB} = \frac{1}{2} \left| 0(x_2 - 0) + x_2(4 - 0) + 0(y_2 - 4) \right| = \frac{1}{2} |4x_2| = 2|x_2|. \] Theo đề bài, \(S_{\Delta OMB} = 3S_{\Delta OMA}\), do đó: \[ 2|x_2| = 3 \times 2|x_1| \] \[ |x_2| = 3|x_1|. \] Từ phương trình \(x^2 - (m+1)x - 3 = 0\), ta có: \[ x_1 + x_2 = m+1, \] \[ x_1x_2 = -3. \] Do đó, \(|x_2| = 3|x_1|\) dẫn đến: \[ x_2 = 3x_1 \quad \text{hoặc} \quad x_2 = -3x_1. \] Trường hợp 1: \(x_2 = 3x_1\) Thay vào phương trình tổng và tích: \[ x_1 + 3x_1 = m+1 \] \[ 4x_1 = m+1 \] \[ x_1 = \frac{m+1}{4}. \] Và: \[ x_1 \cdot 3x_1 = -3 \] \[ 3x_1^2 = -3 \] \[ x_1^2 = -1. \] Điều này vô lý vì \(x_1^2\) không thể âm. Trường hợp 2: \(x_2 = -3x_1\) Thay vào phương trình tổng và tích: \[ x_1 - 3x_1 = m+1 \] \[ -2x_1 = m+1 \] \[ x_1 = -\frac{m+1}{2}. \] Và: \[ x_1 \cdot (-3x_1) = -3 \] \[ -3x_1^2 = -3 \] \[ x_1^2 = 1 \] \[ x_1 = \pm 1. \] Nếu \(x_1 = 1\), thì: \[ 1 = -\frac{m+1}{2} \] \[ m+1 = -2 \] \[ m = -3. \] Nếu \(x_1 = -1\), thì: \[ -1 = -\frac{m+1}{2} \] \[ m+1 = 2 \] \[ m = 1. \] Vậy \(m = -3\) hoặc \(m = 1\).