Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 2: a) \(x^2 + x^2y - y - 1\) Ta nhóm các hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử: \[x^2 + x^2y - y - 1 = x^2(1 + y) - (y + 1)\] Tiếp theo, ta thấy rằng \(1 + y\) là một nhân tử chung: \[x^2(1 + y) - (y + 1) = (1 + y)(x^2 - 1)\] Cuối cùng, ta phân tích tiếp \(x^2 - 1\) thành nhân tử: \[x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\] Vậy, đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử là: \[x^2 + x^2y - y - 1 = (1 + y)(x - 1)(x + 1)\] b) \(7x^3 + 3x^2 - 43x + 33\) Ta thử nghiệm các giá trị \(x = 1, -1, 3, -3, 11, -11, 33, -33\) để tìm nghiệm của đa thức. Thử \(x = 1\): \[7(1)^3 + 3(1)^2 - 43(1) + 33 = 7 + 3 - 43 + 33 = 0\] Vậy \(x = 1\) là một nghiệm của đa thức. Ta có thể viết đa thức dưới dạng: \[7x^3 + 3x^2 - 43x + 33 = (x - 1)(Ax^2 + Bx + C)\] Bằng cách so sánh hệ số, ta tìm được: \[A = 7, B = 10, C = -33\] Vậy, đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử là: \[7x^3 + 3x^2 - 43x + 33 = (x - 1)(7x^2 + 10x - 33)\] c) \(4x^4 - 17x^2y^2 + 4y^4\) Ta nhận thấy đây là một đa thức đối xứng, ta có thể viết lại dưới dạng: \[4x^4 - 17x^2y^2 + 4y^4 = 4(x^4 - \frac{17}{4}x^2y^2 + y^4)\] Tiếp theo, ta phân tích \(x^4 - \frac{17}{4}x^2y^2 + y^4\) thành nhân tử: \[x^4 - \frac{17}{4}x^2y^2 + y^4 = (x^2 - 4xy + y^2)(x^2 + 4xy + y^2)\] Vậy, đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử là: \[4x^4 - 17x^2y^2 + 4y^4 = 4(x^2 - 4xy + y^2)(x^2 + 4xy + y^2)\] d) \((x^2 - x - 10)(x^2 - x - 8) - 8\) Ta đặt \(t = x^2 - x - 9\), ta có: \[(x^2 - x - 10)(x^2 - x - 8) - 8 = (t - 1)(t + 1) - 8 = t^2 - 1 - 8 = t^2 - 9\] Tiếp theo, ta phân tích \(t^2 - 9\) thành nhân tử: \[t^2 - 9 = (t - 3)(t + 3)\] Cuối cùng, ta thay \(t = x^2 - x - 9\) vào: \[(t - 3)(t + 3) = (x^2 - x - 9 - 3)(x^2 - x - 9 + 3) = (x^2 - x - 12)(x^2 - x - 6)\] Vậy, đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử là: \[(x^2 - x - 10)(x^2 - x - 8) - 8 = (x^2 - x - 12)(x^2 - x - 6)\] Bài 3: Để đa thức \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 1 \) chia hết cho đa thức \( g(x) = x^2 - x - 2 \), ta cần thực hiện phép chia đa thức và đảm bảo phần dư bằng 0. Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức \( f(x) \) cho \( g(x) \). Ta có: \[ f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 1 \] \[ g(x) = x^2 - x - 2 \] Thực hiện phép chia: \[ x^3 + ax^2 + bx - 1 \div (x^2 - x - 2) \] Bước 2: Tìm thương và phần dư. Chia \( x^3 \) cho \( x^2 \): \[ x^3 \div x^2 = x \] Nhân \( x \) với \( x^2 - x - 2 \): \[ x \cdot (x^2 - x - 2) = x^3 - x^2 - 2x \] Trừ \( x^3 + ax^2 + bx - 1 \) cho \( x^3 - x^2 - 2x \): \[ (x^3 + ax^2 + bx - 1) - (x^3 - x^2 - 2x) = (a+1)x^2 + (b+2)x - 1 \] Bước 3: Chia tiếp phần còn lại. Chia \( (a+1)x^2 \) cho \( x^2 \): \[ (a+1)x^2 \div x^2 = a+1 \] Nhân \( a+1 \) với \( x^2 - x - 2 \): \[ (a+1) \cdot (x^2 - x - 2) = (a+1)x^2 - (a+1)x - 2(a+1) \] Trừ \( (a+1)x^2 + (b+2)x - 1 \) cho \( (a+1)x^2 - (a+1)x - 2(a+1) \): \[ [(a+1)x^2 + (b+2)x - 1] - [(a+1)x^2 - (a+1)x - 2(a+1)] = (b+2 + a+1)x + [ -1 + 2(a+1) ] \] \[ = (a+b+3)x + (2a+1) \] Bước 4: Đặt phần dư bằng 0. Để \( f(x) \) chia hết cho \( g(x) \), phần dư phải bằng 0: \[ (a+b+3)x + (2a+1) = 0 \] Do đó: \[ a + b + 3 = 0 \] \[ 2a + 1 = 0 \] Giải hệ phương trình: \[ 2a + 1 = 0 \implies a = -\frac{1}{2} \] Thay \( a = -\frac{1}{2} \) vào \( a + b + 3 = 0 \): \[ -\frac{1}{2} + b + 3 = 0 \implies b = -\frac{5}{2} \] Vậy, các số \( a \) và \( b \) thỏa mãn điều kiện là: \[ a = -\frac{1}{2}, \quad b = -\frac{5}{2} \] Bài 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh \(HP = HQ\) 1. Xác định vị trí của điểm F: - Điểm F đối xứng với C qua H, do đó \(HF = HC\). 2. Kẻ đường thẳng qua F song song với AC: - Đường thẳng này cắt AB tại P. 3. Xét tam giác \(APC\): - Vì \(FP \parallel AC\), theo định lý Talet, ta có: \[ \frac{AP}{PC} = \frac{AF}{FC} \] - Do F đối xứng với C qua H, nên \(AF = FC\), do đó \(\frac{AP}{PC} = 1\) hay \(AP = PC\). 4. Xét tam giác \(PHQ\): - Vì \(FP \parallel AC\) và \(PH\) cắt \(AC\) tại \(Q\), nên \(HP = HQ\) do \(AP = PC\). b) Chứng minh \(MH \perp PQ\) 1. Xét tam giác \(BHC\): - M là trung điểm của BC, do đó \(MH\) là đường trung bình của tam giác \(BHC\). 2. Tính chất của đường trung bình: - Đường trung bình trong tam giác vuông góc với đường cao từ đỉnh đối diện, do đó \(MH \perp PQ\). c) Chứng minh I, J, M thẳng hàng 1. Xác định vị trí của I và J: - I là trung điểm của DE. - J là trung điểm của AH. 2. Sử dụng định lý đường trung bình: - Trong tam giác \(ADE\), I là trung điểm của DE. - Trong tam giác \(AHC\), J là trung điểm của AH. 3. Chứng minh thẳng hàng: - M là trung điểm của BC. - Theo định lý đường trung bình trong tam giác, các điểm I, J, M thẳng hàng vì chúng là trung điểm của các đoạn thẳng song song hoặc đồng quy. Với các bước lập luận trên, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.