Cho (L) có phương trình x = 3(cosx)^3 +1 và y = 3(sinx)^3 -1 . Viết phương trình hình bao của (L)

Question

Accepted Answer

Để tìm phương trình hình bao của đường cong (L) có phương trình tham số:

$$
x = 3(\cos t)^3 + 1
$$
$$
y = 3(\sin t)^3 - 1
$$

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp loại tham số $ t $ để tìm mối quan hệ giữa $ x $ và $ y $.

Bước 1: Biểu diễn $\cos t$ và $\sin t$ theo $x$ và $y$

Từ phương trình $x = 3(\cos t)^3 + 1$, ta có:

$$
x - 1 = 3(\cos t)^3
$$

Suy ra:

$$
\cos t = \sqrt[3]{\frac{x - 1}{3}}
$$

Tương tự, từ phương trình $y = 3(\sin t)^3 - 1$, ta có:

$$
y + 1 = 3(\sin t)^3
$$

Suy ra:

$$
\sin t = \sqrt[3]{\frac{y + 1}{3}}
$$

Bước 2: Sử dụng hệ thức lượng giác

Vì $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, ta có:

$$
\left(\sqrt[3]{\frac{x - 1}{3}}\right)^2 + \left(\sqrt[3]{\frac{y + 1}{3}}\right)^2 = 1
$$

Bước 3: Đưa về phương trình hình bao

Để đơn giản hóa, ta đặt:

$$
u = \sqrt[3]{\frac{x - 1}{3}}, \quad v = \sqrt[3]{\frac{y + 1}{3}}
$$

Khi đó, phương trình trở thành:

$$
u^2 + v^2 = 1
$$

Thay lại $u$ và $v$ theo $x$ và $y$:

$$
\left(\sqrt[3]{\frac{x - 1}{3}}\right)^2 + \left(\sqrt[3]{\frac{y + 1}{3}}\right)^2 = 1
$$

Bước 4: Kết luận

Phương trình hình bao của đường cong (L) là:

$$
\left(\sqrt[3]{\frac{x - 1}{3}}\right)^2 + \left(\sqrt[3]{\frac{y + 1}{3}}\right)^2 = 1
$$

Đây là phương trình mô tả mối quan hệ giữa $x$ và $y$ mà không phụ thuộc vào tham số $t$.