$\int_{0}^{\pi/4} \ln(1+\tan x),dx$ giải ạ

Để tính tích phân $\int_{0}^{\pi/4} \ln(1+\tan x) \, dx$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến và tính chất của tích phân. Bước 1: Đặt $u = \frac{\pi}{4} - x$. Khi đó, $du = -dx$. Bước 2: Thay đổi giới hạn tích phân: - Khi $x = 0$, thì $u = \frac{\pi}{4}$. - Khi $x = \frac{\pi}{4}$, thì $u = 0$. Bước 3: Viết lại tích phân theo $u$: \[ \int_{0}^{\pi/4} \ln(1+\tan x) \, dx = \int_{\pi/4}^{0} \ln\left(1+\tan\left(\frac{\pi}{4} - u\right)\right) (-du) \] Bước 4: Đổi dấu và viết lại tích phân: \[ = \int_{0}^{\pi/4} \ln\left(1+\tan\left(\frac{\pi}{4} - u\right)\right) \, du \] Bước 5: Sử dụng công thức $\tan\left(\frac{\pi}{4} - u\right) = \frac{1 - \tan u}{1 + \tan u}$: \[ = \int_{0}^{\pi/4} \ln\left(1 + \frac{1 - \tan u}{1 + \tan u}\right) \, du \] Bước 6: Rút gọn biểu thức trong logarit: \[ = \int_{0}^{\pi/4} \ln\left(\frac{2}{1 + \tan u}\right) \, du \] Bước 7: Tách logarit thành hai phần: \[ = \int_{0}^{\pi/4} \left[\ln 2 - \ln(1 + \tan u)\right] \, du \] Bước 8: Chia tích phân thành hai phần: \[ = \int_{0}^{\pi/4} \ln 2 \, du - \int_{0}^{\pi/4} \ln(1 + \tan u) \, du \] Bước 9: Tính tích phân thứ nhất: \[ = \ln 2 \cdot \left[u\right]_{0}^{\pi/4} - \int_{0}^{\pi/4} \ln(1 + \tan u) \, du \] \[ = \ln 2 \cdot \frac{\pi}{4} - \int_{0}^{\pi/4} \ln(1 + \tan u) \, du \] Bước 10: Gọi tích phân ban đầu là $I$: \[ I = \int_{0}^{\pi/4} \ln(1 + \tan x) \, dx \] Bước 11: Kết hợp các kết quả: \[ I = \frac{\pi}{4} \ln 2 - I \] Bước 12: Giải phương trình để tìm $I$: \[ 2I = \frac{\pi}{4} \ln 2 \] \[ I = \frac{\pi}{8} \ln 2 \] Vậy, giá trị của tích phân là: \[ \boxed{\frac{\pi}{8} \ln 2} \]