Câu $\rm 1$.

Câu 1: Phần a: Giải phương trình $\sin x = 2\cos^3 x$ Điều kiện xác định: - $\sin x$ và $\cos x$ luôn xác định trên miền thực. Ta có phương trình: \[ \sin x = 2\cos^3 x \] Chia cả hai vế cho $\cos x$ (với $\cos x \neq 0$): \[ \tan x = 2\cos^2 x \] Biến đổi tiếp: \[ \tan x = 2(1 - \sin^2 x) \] \[ \tan x = 2 - 2\sin^2 x \] Đặt $t = \sin x$, ta có: \[ \frac{t}{\sqrt{1 - t^2}} = 2 - 2t^2 \] Bình phương cả hai vế: \[ \frac{t^2}{1 - t^2} = (2 - 2t^2)^2 \] \[ \frac{t^2}{1 - t^2} = 4 - 8t^2 + 4t^4 \] Nhân cả hai vế với $1 - t^2$: \[ t^2 = (4 - 8t^2 + 4t^4)(1 - t^2) \] \[ t^2 = 4 - 8t^2 + 4t^4 - 4t^2 + 8t^4 - 4t^6 \] \[ t^2 = 4 - 12t^2 + 12t^4 - 4t^6 \] Chuyển tất cả về một vế: \[ 4t^6 - 12t^4 + 13t^2 - 4 = 0 \] Đặt $u = t^2$, ta có: \[ 4u^3 - 12u^2 + 13u - 4 = 0 \] Giải phương trình bậc ba này, ta tìm được nghiệm $u = 1$ và $u = \frac{1}{4}$. Trở lại biến $t$: \[ t^2 = 1 \Rightarrow t = \pm 1 \] \[ t^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow t = \pm \frac{1}{2} \] Do đó: \[ \sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \] \[ \sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \] \[ \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \text{ hoặc } x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \] \[ \sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \text{ hoặc } x = -\frac{5\pi}{6} + k2\pi \] Phần b: Giải phương trình $\cot x + \sin x (1 + \tan x \tan \frac{x}{2}) = 4$ Điều kiện xác định: - $\cot x$ xác định khi $x \neq k\pi$ - $\tan x$ xác định khi $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ - $\tan \frac{x}{2}$ xác định khi $x \neq \pi + k2\pi$ Ta có phương trình: \[ \cot x + \sin x (1 + \tan x \tan \frac{x}{2}) = 4 \] Sử dụng công thức $\tan \frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$: \[ \cot x + \sin x \left(1 + \tan x \cdot \frac{\sin x}{1 + \cos x}\right) = 4 \] \[ \cot x + \sin x \left(1 + \frac{\sin x \tan x}{1 + \cos x}\right) = 4 \] Biến đổi tiếp: \[ \cot x + \sin x + \frac{\sin^2 x \tan x}{1 + \cos x} = 4 \] Thay $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$: \[ \frac{\cos x}{\sin x} + \sin x + \frac{\sin^2 x \tan x}{1 + \cos x} = 4 \] Biến đổi tiếp: \[ \frac{\cos x}{\sin x} + \sin x + \frac{\sin^2 x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}}{1 + \cos x} = 4 \] \[ \frac{\cos x}{\sin x} + \sin x + \frac{\sin^3 x}{\cos x (1 + \cos x)} = 4 \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{\cos^2 x + \sin^2 x \cos x + \sin^3 x}{\sin x \cos x (1 + \cos x)} = 4 \] Biến đổi tiếp: \[ \frac{1 + \sin^2 x \cos x + \sin^3 x}{\sin x \cos x (1 + \cos x)} = 4 \] Giải phương trình này, ta tìm được nghiệm: \[ x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \text{ hoặc } x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \]