Giải hộ mình câu này với các bạn Ví dụ 3: Tìm m để mọi $x\in[-1;1]$ đều là nghiệm của bất phương trình,$3x^2-2(m+5)x-m^2+2m+8\leq0~(1)$,$A.~m\in(-\infty;-3]\cup[7;+\infty)$ $B.~m-\frac12$ $C.~m\geq7$ D.,$m\leq-3$

Question

Giải hộ mình câu này với các bạn Ví dụ 3: Tìm m để mọi $x\in[-1;1]$ đều là nghiệm của bất phương trình,$3x^2-2(m+5)x-m^2+2m+8\leq0~(1)$,$A.~m\in(-\infty;-3]\cup[7;+\infty)$ $B.~m>-\frac12$ $C.~m\geq7$ D.,$m\leq-3$

Accepted Answer

Ví dụ 3:
Để mọi $ x \in [-1;1] $ đều là nghiệm của bất phương trình $ 3x^2 - 2(m+5)x - m^2 + 2m + 8 \leq 0 $, ta cần đảm bảo rằng bất phương trình này đúng với tất cả các giá trị $ x $ trong khoảng $[-1;1]$.

Trước tiên, ta sẽ kiểm tra bất phương trình tại các điểm biên $ x = -1 $ và $ x = 1 $:

1. Thay $ x = -1 $ vào bất phương trình:
   $$
   3(-1)^2 - 2(m+5)(-1) - m^2 + 2m + 8 \leq 0
   $$
   $$
   3 + 2(m+5) - m^2 + 2m + 8 \leq 0
   $$
   $$
   3 + 2m + 10 - m^2 + 2m + 8 \leq 0
   $$
   $$
   -m^2 + 4m + 21 \leq 0
   $$
   $$
   m^2 - 4m - 21 \geq 0
   $$
   Giải bất phương trình bậc hai:
   $$
   m^2 - 4m - 21 = 0
   $$
   $$
   m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{4 \pm 10}{2}
   $$
   $$
   m = 7 \quad \text{hoặc} \quad m = -3
   $$
   Do đó, $ m \leq -3 $ hoặc $ m \geq 7 $.

2. Thay $ x = 1 $ vào bất phương trình:
   $$
   3(1)^2 - 2(m+5)(1) - m^2 + 2m + 8 \leq 0
   $$
   $$
   3 - 2(m+5) - m^2 + 2m + 8 \leq 0
   $$
   $$
   3 - 2m - 10 - m^2 + 2m + 8 \leq 0
   $$
   $$
   -m^2 + 1 \leq 0
   $$
   $$
   m^2 \geq 1
   $$
   $$
   m \leq -1 \quad \text{hoặc} \quad m \geq 1
   $$

Kết hợp các điều kiện từ $ x = -1 $ và $ x = 1 $:
- Từ $ x = -1 $: $ m \leq -3 $ hoặc $ m \geq 7 $
- Từ $ x = 1 $: $ m \leq -1 $ hoặc $ m \geq 1 $

Do đó, để bất phương trình đúng với mọi $ x \in [-1;1] $, ta chọn giao của các điều kiện này:
$$
m \leq -3 \quad \text{hoặc} \quad m \geq 7
$$

Vậy đáp án đúng là:
$$
\boxed{D. ~m \leq -3}
$$