Phần $\rm 2$. 2. Cho hàm số $y=(m-1)x^2-2mx+m+2$ (mmlà tham số). Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng,$(-\infty;2).$

Question

Accepted Answer

Để hàm số $ y = (m-1)x^2 - 2mx + m + 2 $ nghịch biến trên khoảng $ (-\infty; 2) $, đạo hàm của nó phải âm trên khoảng này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = 2(m-1)x - 2m $$ Bước 2: Hàm số nghịch biến trên khoảng $ (-\infty; 2) $ nếu $ y' < 0 $ trên khoảng này. Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: $ m - 1 > 0 $ - Đạo hàm $ y' = 2(m-1)x - 2m $ là một hàm bậc nhất với hệ số góc dương $ 2(m-1) > 0 $. - Để $ y' < 0 $ trên khoảng $ (-\infty; 2) $, ta cần $ y'(2) < 0 $: $$ 2(m-1)(2) - 2m < 0 $$ $$ 4(m-1) - 2m < 0 $$ $$ 4m - 4 - 2m < 0 $$ $$ 2m - 4 < 0 $$ $$ m < 2 $$ Do đó, $ m $ phải thỏa mãn $ 1 < m < 2 $. Trường hợp 2: $ m - 1 < 0 $ - Đạo hàm $ y' = 2(m-1)x - 2m $ là một hàm bậc nhất với hệ số góc âm $ 2(m-1) < 0 $. - Để $ y' < 0 $ trên khoảng $ (-\infty; 2) $, ta cần $ y'(2) < 0 $: $$ 2(m-1)(2) - 2m < 0 $$ $$ 4(m-1) - 2m < 0 $$ $$ 4m - 4 - 2m < 0 $$ $$ 2m - 4 < 0 $$ $$ m < 2 $$ Do đó, $ m $ phải thỏa mãn $ m < 1 $. Kết luận: Hàm số $ y = (m-1)x^2 - 2mx + m + 2 $ nghịch biến trên khoảng $ (-\infty; 2) $ khi $ m < 1 $ hoặc $ 1 < m < 2 $.