Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng ∆ cho trước?

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ về mối quan hệ giữa mặt phẳng và đường thẳng trong không gian. 1. Khái niệm cơ bản: - Một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng nếu và chỉ nếu đường thẳng đó là pháp tuyến của mặt phẳng. Điều này có nghĩa là mọi vectơ chỉ phương của đường thẳng đều vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng. 2. Xác định số lượng mặt phẳng: - Cho trước một điểm \( O \) và một đường thẳng \( \Delta \). Để tìm các mặt phẳng vuông góc với \( \Delta \) và đi qua \( O \), ta cần xác định các mặt phẳng có pháp tuyến song song hoặc trùng với vectơ chỉ phương của \( \Delta \). 3. Lập luận: - Giả sử vectơ chỉ phương của \( \Delta \) là \( \vec{u} \). - Một mặt phẳng vuông góc với \( \Delta \) sẽ có dạng: \( \vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \), trong đó \( \vec{n} \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. - Tuy nhiên, để mặt phẳng đi qua điểm \( O \), phương trình mặt phẳng có thể viết dưới dạng: \( \vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{r_0}) = 0 \), với \( \vec{r_0} \) là vectơ vị trí của điểm \( O \). 4. Kết luận: - Có vô số mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \( \Delta \) đi qua điểm \( O \). Điều này là do có vô số cách chọn vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \) sao cho \( \vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \), và mỗi cách chọn như vậy sẽ xác định một mặt phẳng khác nhau. Vì vậy, có vô số mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \( \Delta \) đi qua điểm \( O \).