Giúp mình với!

Bài 1: a) $\left\{\begin{array}{l}2x+y=2\\3x-y=-7\end{array}\right.$ Cộng vế theo vế hai phương trình ta được: $(2x + y) + (3x - y) = 2 + (-7)$ $5x = -5$ $x = -1$ Thay $x = -1$ vào phương trình đầu tiên ta được: $2(-1) + y = 2$ $-2 + y = 2$ $y = 4$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (-1, 4)$. b) $\left\{\begin{array}{l}\frac1{x-y}+\frac4x=-\frac{17}{15}\\\frac5{x-y}-\frac6y=3\end{array}\right.$, với $x \ne y; y \ne 0$. Đặt $u = \frac{1}{x-y}$ và $v = \frac{1}{x}$. Ta có hệ phương trình mới: $\left\{\begin{array}{l}u + 4v = -\frac{17}{15}\\5u - 6w = 3\end{array}\right.$, với $w = \frac{1}{y}$. Nhân phương trình đầu tiên với 5 và phương trình thứ hai với 1: $\left\{\begin{array}{l}5u + 20v = -\frac{85}{15}\\5u - 6w = 3\end{array}\right.$ Trừ vế theo vế hai phương trình ta được: $(5u + 20v) - (5u - 6w) = -\frac{85}{15} - 3$ $20v + 6w = -\frac{85}{15} - 3$ $20v + 6w = -\frac{85}{15} - \frac{45}{15}$ $20v + 6w = -\frac{130}{15}$ $20v + 6w = -\frac{26}{3}$ Chia cả hai vế cho 2: $10v + 3w = -\frac{13}{3}$ Nhân phương trình này với 2: $20v + 6w = -\frac{26}{3}$ Trừ vế theo vế hai phương trình ta được: $(20v + 6w) - (20v + 6w) = -\frac{26}{3} - (-\frac{26}{3})$ $0 = 0$ Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. Ta có thể chọn $v = t$ (với $t$ là tham số) và $w = -\frac{13}{3} - 10t$. Quay lại biến ban đầu: $u = -\frac{17}{15} - 4t$ $v = t$ $w = -\frac{13}{3} - 10t$ Ta có: $\frac{1}{x-y} = -\frac{17}{15} - 4t$ $\frac{1}{x} = t$ $\frac{1}{y} = -\frac{13}{3} - 10t$ Từ đây, ta có thể tìm được $x$, $y$ và $z$ theo $t$. Bài 2: 1. Phương trình $3x-4y=m-1$: a) Để cặp số $(2;-1)$ là một nghiệm của phương trình, ta thay $x=2$ và $y=-1$ vào phương trình: \[ 3(2) - 4(-1) = m - 1 \] \[ 6 + 4 = m - 1 \] \[ 10 = m - 1 \] \[ m = 11 \] Vậy $m = 11$. b) Với $m = 11$, phương trình trở thành: \[ 3x - 4y = 10 \] Đây là phương trình đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Để biểu diễn tập nghiệm, ta cần tìm hai điểm thuộc đường thẳng này. - Khi $x = 0$, ta có: \[ 3(0) - 4y = 10 \Rightarrow -4y = 10 \Rightarrow y = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2} \] Điểm $(0, -\frac{5}{2})$ thuộc đường thẳng. - Khi $y = 0$, ta có: \[ 3x - 4(0) = 10 \Rightarrow 3x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{3} \] Điểm $(\frac{10}{3}, 0)$ thuộc đường thẳng. Vậy tập nghiệm của phương trình là đường thẳng đi qua hai điểm $(0, -\frac{5}{2})$ và $(\frac{10}{3}, 0)$. 2. Phương trình bậc nhất hai ẩn cho hai khoản đầu tư của cô Nguyệt: Gọi $x$ là khoản đầu tư với lãi suất 6% và $y$ là khoản đầu tư với lãi suất 8%, với $x > 0$ và $y > 0$. Tiền lãi từ khoản đầu tư $x$ là $0.06x$ triệu đồng mỗi năm. Tiền lãi từ khoản đầu tư $y$ là $0.08y$ triệu đồng mỗi năm. Tổng tiền lãi từ hai khoản đầu tư là 150 triệu đồng mỗi năm, do đó ta có phương trình: \[ 0.06x + 0.08y = 150 \] Đây là phương trình bậc nhất hai ẩn cho hai khoản đầu tư của cô Nguyệt. 3. Tính diện tích của tam giác ABC: Tam giác ABC có $A = 30^\circ$, $AB = 3$ cm, $AC = 4$ cm. Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A \] Với $A = 30^\circ$, ta có $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. Thay vào công thức, ta có: \[ S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times 12 \times \frac{1}{2} = 3 \text{ cm}^2 \] Vậy diện tích của tam giác ABC là $3 \text{ cm}^2$. Bài 3: Để giải bài toán này, ta cần tính vận tốc của bạn Dũng và bạn Trang. Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện Gọi vận tốc của bạn Dũng là \( v_D \) (km/h) và vận tốc của bạn Trang là \( v_T \) (km/h). Điều kiện: \( v_D > 0 \), \( v_T > 0 \). Bước 2: Thiết lập phương trình từ thông tin gặp nhau - Bạn Dũng đi được 1 giờ 30 phút, tức là 1.5 giờ. - Bạn Trang đi được 2 giờ. Khi gặp nhau, tổng quãng đường hai bạn đi được là 38 km. Phương trình: \[ 1.5v_D + 2v_T = 38 \] Bước 3: Thiết lập phương trình từ thông tin lần gặp thứ hai - Sau 1 giờ 15 phút, tức là 1.25 giờ, hai bạn còn cách nhau 10.5 km. Phương trình: \[ |1.25v_D - 1.25v_T| = 10.5 \] Bước 4: Giải hệ phương trình Từ phương trình thứ hai, ta có: \[ 1.25v_D - 1.25v_T = 10.5 \] hoặc \[ 1.25v_T - 1.25v_D = 10.5 \] Chia cả hai vế cho 1.25, ta được: \[ v_D - v_T = 8.4 \] hoặc \[ v_T - v_D = 8.4 \] Trường hợp 1: \( v_D - v_T = 8.4 \) Thay vào phương trình đầu: \[ 1.5v_D + 2v_T = 38 \] Thay \( v_D = v_T + 8.4 \) vào: \[ 1.5(v_T + 8.4) + 2v_T = 38 \] \[ 1.5v_T + 12.6 + 2v_T = 38 \] \[ 3.5v_T = 25.4 \] \[ v_T = \frac{25.4}{3.5} = 7.257 \] Từ đó: \[ v_D = v_T + 8.4 = 7.257 + 8.4 = 15.657 \] Trường hợp 2: \( v_T - v_D = 8.4 \) Thay vào phương trình đầu: \[ 1.5v_D + 2v_T = 38 \] Thay \( v_T = v_D + 8.4 \) vào: \[ 1.5v_D + 2(v_D + 8.4) = 38 \] \[ 1.5v_D + 2v_D + 16.8 = 38 \] \[ 3.5v_D = 21.2 \] \[ v_D = \frac{21.2}{3.5} = 6.057 \] Từ đó: \[ v_T = v_D + 8.4 = 6.057 + 8.4 = 14.457 \] Kết luận: Vận tốc của bạn Dũng là 15.657 km/h và vận tốc của bạn Trang là 7.257 km/h, hoặc ngược lại. Bài 4: 1. Để tính chiều cao của cây, ta sử dụng định lý lượng giác trong tam giác vuông. Gọi chiều cao của cây là \( h \). Theo đề bài, tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc \( 35^\circ \), do đó: \[ \tan(35^\circ) = \frac{h}{22} \] Từ đó, ta có: \[ h = 22 \times \tan(35^\circ) \] Sử dụng máy tính để tính giá trị của \(\tan(35^\circ)\), ta có: \[ h \approx 22 \times 0.7002 \approx 15.4 \] Vậy chiều cao của cây là khoảng 15 mét (làm tròn đến hàng đơn vị). 2. Cho tam giác nhọn \(ABC\) với \(AB < AC\) và các đường cao \(BD\), \(CE\) cắt nhau tại \(H\) (\(D \in AC\), \(E \in AB\)). a) Chứng minh \(AE \cdot BD = AD \cdot CE\). - Trong tam giác vuông \(ABE\) và \(ACD\), ta có: \[ \frac{AE}{AD} = \frac{CE}{BD} \] - Nhân chéo hai vế của phương trình trên, ta được: \[ AE \cdot BD = AD \cdot CE \] b) Chứng minh tứ giác \(BHCK\) là hình bình hành và \(\widehat{BAH} = \widehat{CAK}\). - Qua \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(B\) và qua \(C\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AC\) tại \(C\), hai đường thẳng này cắt nhau tại \(K\). - Do \(BH \perp AB\) và \(CK \perp AC\), nên \(BH \parallel CK\) và \(BH = CK\). - Tương tự, \(BK \parallel CH\) và \(BK = CH\). - Do đó, tứ giác \(BHCK\) là hình bình hành. - Xét tam giác \(ABH\) và tam giác \(ACK\), ta có: \[ \widehat{BAH} = \widehat{CAK} \] vì \(BH \parallel CK\) và \(AB\) là đường chung. c) Chứng minh \(AO\) đi qua trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(MN\). - Gọi \(O\) là giao điểm của \(BC\) và \(HK\). - Đoạn thẳng \(AH\) cắt \(ED\) tại \(M\) và đoạn thẳng \(AK\) cắt \(BC\) tại \(N\). - Do \(BHCK\) là hình bình hành, nên \(HK \parallel BC\). - Từ đó, \(O\) là trung điểm của \(HK\). - Theo tính chất của hình bình hành, \(AO\) là đường trung bình của tam giác \(AHK\), do đó \(AO\) đi qua trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(MN\). Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán. Bài 5: Ta có: $(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})+(\frac{z}{x}+\frac{x}{z})=-2$ $\Leftrightarrow \frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{y^2+z^2}{yz}+\frac{z^2+x^2}{zx}=-2$ $\Leftrightarrow \frac{x^2+y^2}{xy}+1+\frac{y^2+z^2}{yz}+1+\frac{z^2+x^2}{zx}+1=-2+3$ $\Leftrightarrow \frac{(x+y)^2}{xy}+\frac{(y+z)^2}{yz}+\frac{(z+x)^2}{zx}=1$ $\Leftrightarrow \frac{x+y}{z}.\frac{x+y}{x}+\frac{y+z}{x}.\frac{y+z}{y}+\frac{z+x}{y}.\frac{z+x}{z}=1$ Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.