Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 m. Chiều dài hơn chiều rộng 7 m. Tính diện tích hình chữ nhật đó. Giải toán bằng cách lập hệ phương trình

Để giải bài toán này, ta cần tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật, sau đó tính diện tích của nó. Ta sẽ giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình. Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là \( x \) (đơn vị: m, điều kiện: \( x > 0 \)). Chiều dài của hình chữ nhật là \( x + 7 \) (đơn vị: m). Theo đề bài, đường chéo của hình chữ nhật bằng 13 m. Do đó, theo định lý Pythagore, ta có phương trình: \[ x^2 + (x + 7)^2 = 13^2 \] Giải phương trình này: \[ x^2 + (x^2 + 14x + 49) = 169 \] \[ 2x^2 + 14x + 49 = 169 \] \[ 2x^2 + 14x + 49 - 169 = 0 \] \[ 2x^2 + 14x - 120 = 0 \] Chia cả hai vế của phương trình cho 2 để đơn giản hóa: \[ x^2 + 7x - 60 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 1 \), \( b = 7 \), \( c = -60 \), ta có: \[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 240}}{2} \] \[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2} \] \[ x = \frac{-7 \pm 17}{2} \] Ta có hai nghiệm: 1. \( x = \frac{-7 + 17}{2} = 5 \) 2. \( x = \frac{-7 - 17}{2} = -12 \) Vì chiều rộng không thể âm, nên \( x = 5 \). Chiều dài của hình chữ nhật là \( x + 7 = 5 + 7 = 12 \). Diện tích của hình chữ nhật là: \[ S = x \cdot (x + 7) = 5 \cdot 12 = 60 \, \text{m}^2 \] Vậy diện tích của hình chữ nhật là 60 m².