giải bài tập

Câu 1: a) Đúng vì f(x) và h(x) là tam thức bậc hai còn g(x) là đa thức bậc ba. b) Sai vì nghiệm của tam thức f(x) là \( x = 1 \) và \( x = -\frac{1}{4} \). c) Đúng vì tam thức \( h(x) = 2x^2 - 3x + 1 \) có đồ thị là parabol mở lên và đỉnh tại \( x = \frac{3}{4} \). Do đó, \( h(x) \geq 0 \) khi \( x \leq \frac{1}{2} \) hoặc \( x \geq 1 \). d) Đúng vì giá trị nhỏ nhất của \( h(x) \) là \( -\frac{1}{8} \) đạt được khi \( x = \frac{3}{4} \). Do đó, \( h(x) \geq m \) với mọi \( x \) khi và chỉ khi \( m < -\frac{1}{8} \). Câu 2: Để xét tính đúng sai của các khẳng định, ta cần phân tích từng tam thức bậc hai và điều kiện của chúng. a) Tam thức $g(x) = x^2 + 6x + 9$ không âm $\forall x \in \Box.$ Tam thức $g(x) = x^2 + 6x + 9$ có thể viết lại dưới dạng bình phương hoàn chỉnh: \[ g(x) = (x + 3)^2. \] Vì $(x + 3)^2 \geq 0$ với mọi $x$, nên $g(x)$ không âm với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, khẳng định a) là đúng. b) Tam thức $h(x) = -x^2 + 4x - 4$ âm $\forall x \in \Box.$ Xét tam thức $h(x) = -x^2 + 4x - 4$. Ta có hệ số $a = -1 < 0$, do đó đồ thị của $h(x)$ là một parabol úp xuống. Để $h(x)$ âm với mọi $x$, parabol này không được cắt trục hoành. Tính biệt thức $\Delta$ của $h(x)$: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(-1)(-4) = 16 - 16 = 0. \] Vì $\Delta = 0$, parabol chỉ tiếp xúc trục hoành tại một điểm. Do đó, $h(x)$ không âm với mọi $x$. Khẳng định b) là sai. c) Tam thức $f(x) = x^2 + 5x + 6$ không âm khi $2 \leq x \leq 3.$ Xét tam thức $f(x) = x^2 + 5x + 6$. Tính biệt thức $\Delta$: \[ \Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1. \] Vì $\Delta > 0$, tam thức có hai nghiệm phân biệt. Tìm các nghiệm: \[ x_1 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2} = -2. \] Vì $a = 1 > 0$, đồ thị của $f(x)$ là một parabol hướng lên. Do đó, $f(x)$ không âm ngoài khoảng $(-3, -2)$. Xét khoảng $2 \leq x \leq 3$, ta thấy $2$ và $3$ đều nằm ngoài khoảng $(-3, -2)$, do đó $f(x)$ không âm trên đoạn $[2, 3]$. Khẳng định c) là đúng. d) Tam thức $f(x) - h(x)$ luôn dương $\forall x \in \Box.$ Tính $f(x) - h(x)$: \[ f(x) - h(x) = (x^2 + 5x + 6) - (-x^2 + 4x - 4) = 2x^2 + x + 10. \] Xét tam thức $2x^2 + x + 10$. Tính biệt thức $\Delta$: \[ \Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 1 - 80 = -79. \] Vì $\Delta < 0$, tam thức $2x^2 + x + 10$ không có nghiệm thực và $a = 2 > 0$, nên $2x^2 + x + 10 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Do đó, khẳng định d) là đúng. Tóm lại: - Khẳng định a) đúng. - Khẳng định b) sai. - Khẳng định c) đúng. - Khẳng định d) đúng. Câu 3: Để xét tính đúng sai của các khẳng định, ta thực hiện các bước sau: a) Tam thức $f(x)=-x^2+375x-33750$ có biệt thức $\Delta>0.$ Tam thức bậc hai có dạng $ax^2 + bx + c$. Ở đây, $a = -1$, $b = 375$, $c = -33750$. Biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac = 375^2 - 4(-1)(-33750)$. Tính toán: \[ \Delta = 375^2 - 4 \times 1 \times 33750 = 140625 - 135000 = 5625 \] Vì $\Delta = 5625 > 0$, nên khẳng định a) là đúng. b) Phương trình $f(x)=0$ có hai nghiệm $x=150$ và $x=225.$ Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \] Thay $\Delta = 5625$, $a = -1$, $b = 375$ vào: \[ x = \frac{-375 \pm \sqrt{5625}}{-2} \] \[ x = \frac{-375 \pm 75}{-2} \] Tính hai nghiệm: 1. $x_1 = \frac{-375 + 75}{-2} = \frac{-300}{-2} = 150$ 2. $x_2 = \frac{-375 - 75}{-2} = \frac{-450}{-2} = 225$ Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 150$ và $x = 225$. Khẳng định b) là đúng. c) Bảng xét dấu của $f(x)$ là Dựa vào hai nghiệm $x = 150$ và $x = 225$, ta xét dấu của $f(x)$: - Khi $x < 150$, $f(x) > 0$ (dấu của $a$ là âm, nên ngoài khoảng nghiệm là dương). - Khi $150 < x < 225$, $f(x) < 0$. - Khi $x > 225$, $f(x) > 0$. Bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|cccc} x & -\infty & 150 & 225 & +\infty \\ \hline f(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \end{array} \] Bảng xét dấu khớp với hình ảnh. Khẳng định c) là đúng. d) Công ty có lãi khi bán từ 150 sản phẩm đến 225 sản phẩm. Công ty có lãi khi $f(x) > 0$. Dựa vào bảng xét dấu, $f(x) > 0$ khi $x < 150$ hoặc $x > 225$. Vậy khẳng định d) là sai. Công ty có lãi khi bán ít hơn 150 sản phẩm hoặc nhiều hơn 225 sản phẩm. Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định số lượng khách thêm vào lớn nhất sao cho công ty không bị lỗ. Bước 1: Xác định doanh thu và chi phí - Doanh thu của công ty phụ thuộc vào số lượng khách và giá vé. - Chi phí của công ty là 10,080,000 đồng. Bước 2: Thiết lập phương trình - Gọi x là số lượng khách từ người thứ 31 trở đi. - Giá vé ban đầu là 300,000 đồng/người. - Cứ thêm 1 người, giá vé giảm 5,000 đồng/người cho toàn bộ khách. Do đó, giá vé cho mỗi người khi có x khách thêm vào là: \[ 300,000 - 5,000x \] Tổng số khách là \( 30 + x \). Doanh thu của công ty là: \[ (30 + x)(300,000 - 5,000x) \] Chi phí của công ty là 10,080,000 đồng. Bước 3: Thiết lập bất phương trình để đảm bảo công ty không bị lỗ \[ (30 + x)(300,000 - 5,000x) \geq 10,080,000 \] Bước 4: Giải bất phương trình \[ (30 + x)(300,000 - 5,000x) \geq 10,080,000 \] \[ 9,000,000 + 300,000x - 15,000,000x - 5,000x^2 \geq 10,080,000 \] \[ -5,000x^2 - 14,700,000x + 9,000,000 \geq 10,080,000 \] \[ -5,000x^2 - 14,700,000x - 1,080,000 \geq 0 \] Chia cả hai vế cho -5,000: \[ x^2 + 2,940x + 216 \leq 0 \] Bước 5: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai \[ x^2 + 2,940x + 216 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ a = 1, b = 2,940, c = 216 \] \[ x = \frac{-2,940 \pm \sqrt{(2,940)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 216}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-2,940 \pm \sqrt{8,643,600 - 864}}{2} \] \[ x = \frac{-2,940 \pm \sqrt{8,642,736}}{2} \] \[ x = \frac{-2,940 \pm 2,940}{2} \] Có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-2,940 + 2,940}{2} = 0 \] \[ x_2 = \frac{-2,940 - 2,940}{2} = -2,940 \] Bước 6: Xác định khoảng nghiệm \[ 0 \leq x \leq -2,940 \] Vì x phải là số dương, nên x lớn nhất là 0. Vậy số lượng khách thêm vào lớn nhất là 0 người để công ty không bị lỗ.